l'hospitalsche Regel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie mit Hilfe der l'Hospitalschen Regel den Grenzwert
[mm] \limes_{x\to\ 0}(\bruch{2tan(x)}{x}-cos(x)),
[/mm]
falls dieser existiert
b) Seien f,g: [mm] ]0,\infty[ \to \IR [/mm] differenzierbar mit [mm] f(x)\to0,g(x)\to0 [/mm] falls [mm] x\to\infty. [/mm] Außerdem gelte für x>0 stets [mm] g'(x)\not=0 [/mm] und der Grenzwert [mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] existiere.
Beh.: [mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}. [/mm] |
Moin allerseits.
Habe mir zu dieser Aufgabe schon so einige Gedanken gemacht.
zu a)
Teil a) ist, denke ich, leicht, mein Problem ist da nur das Formelle:
Ich darf den limes doch auseinanderziehen, so dass
[mm] \limes_{x\to\ 0}(\bruch{2tan(x)}{x}-cos(x))=\limes_{x\to\ 0}\bruch{2tan(x)}{x}-\limes_{x\to\ 0}cos(x). [/mm] Der 2. Limes ist 1, der erste ist mit l'Hospital zu berechnen, wobei ich erst einmal die Voraussetzungen überprüfen muss. Sehe ich das richtig, dass ich für f(x):=2*tan(x) und g(x):=x betrachte f(0)=0=g(0) und [mm] g'(x)=1\not=0 [/mm] f.a. [mm] x\in\IR??? [/mm] Damit sind doch die Voraussetzungen erfüllt und ich kann die l'Hospitalsche Regel anwenden:
[mm] \limes_{x\to\ 0}\bruch{2tan(x)}{x}=\limes_{x\to\ 0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\ 0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\limes_{x\to\ 0}\bruch{2*(1+tan^2(x))}{1}=2
[/mm]
Also ist der ganze Limes 2-1, also 1. Richtig???
Zu b) weiß ich ehrlich gesagt nicht so ganz, was ich schreiben soll. Habe mir überlegt, dass gilt: [mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{t\to\ 0}\bruch{f(\bruch{1}{t})}{g(\bruch{1}{t})}. [/mm] Aber was soll ich da sonst noch großes hinschreiben?
Vielen Dank schon mal im Voraus für eventuelle Hilfe,
San
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 11.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also für x==> [mm] \infty [/mm] hat die Funktion keinen Grenzwert würde ich behaupten. Hab mir eben ne Wertetabelle bis x=10000 ausgeben lassen und mir auch den Graph anzeigen lassen. Die Funktion pendelt immer von ca. -1 bis ca +1.
Damit du L'Hospital anwenden darfst, muss doch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bzw [mm] \bruch {\infty}{\infty} [/mm] gelten, wenn man den Grenzwert einsetzt. Du hast Null eingesetzt. Desweiteren, hat cos(x) für x ==> [mm] \infty [/mm] keinen Grenzwert wie du behauptet hast.
PS: Ich komm übrigens auch aus Kiel :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Hallo, Paul aus Kiel;)
Du hast natürlich recht, ich habe mich verschrieben und betrachte bei a) alle grenzwerte gegen Null. Weiß auch nicht, was los war mit mir, wird aber postwendend korrigiert;)
Gruß, San. Stimmts denn dann?
|
|
|
| |
|
Hallo Susann,
ich verstehe Pauls Bemerkungen nicht so ganz. Bei a) geht's nirgendwo um einen Grenzwert für [mm] x\to\infty. [/mm] Du hast völlig richtig argumentiert und dein Grenzwert stimmt. Zu b) siehe meine andere Antwort!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Paul hatte durchaus Recht, aber ich habs wegeditiert... hatte alle grenzwerte gegen unendlich gehen lassen und das war natürlich falsch;)
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei b ist ja gerade der Beweis der Regel von l'Hospital gewünscht. Diesen findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Was ich nicht verstehe, dass er den Beweis zur l'Hospitalschen Regel SELBST schon gemacht hat. Ich dachte, ich habe da etwas übersehen, so dass es nicht ganz dasselbe ist. Vielleicht eine Voraussetzung, die fehlt oder etwas in der Art...
|
|
|
| |
|
Hallo,
tja dann überprüf das noch mal. Meiner Meinung nach ist das eindeutig l'Hospital!
VG Daniel
|
|
|
|
