längstes Existenzintervall DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:50 So 09.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei die DGL $y'(x)= cos(x)exp(y(x)), x, y(x) [mm] \in \IR$. [/mm]
a) Geben Sie eine explizite Lösung des Anfangswertproblems dieser DGL mit [mm] $y(x_{0})=y_{0}$ [/mm] an.
b) Sei [mm] $[x_{0},x_{max}[$ [/mm] das längste Existenzintervall der Lösung. Für welche [mm] $(x_{0},y_{0})$ [/mm] gilt [mm] $x_{max}=\infty$? [/mm] Wie verhält sich $y(x)$ für [mm] $x\rightarrow x_{max}$, [/mm] wenn [mm] $x_{max}$ [/mm] endlich ist?
c) Bestimmen Sie [mm] $lim_{x\uparrow x_{max}}$ [/mm] |
Hallo!
a) [mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] cos(x)e^{y} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \int\frac{1}{e^{y}}dy [/mm] = [mm] \int [/mm] cos(x)dx$
[mm] $\Rightarrow -e^{-y}=sin(x) [/mm] + c $
[mm] $\Rightarrow [/mm] y = -log(-sin(x)-c)$
[mm] $\Rightarrow c=-e^{-y_{0}}-sin(x_{0})$
[/mm]
Lösung des AWP: [mm] $y=-log(-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0}))= log(\frac{1}{-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0})})$
[/mm]
b) Es muss [mm] $e^{-y_{0}}+sin(x_{0})) [/mm] > sin(x)$ sein, damit eine Lösung des AWPs existiert. [mm] $x_{max}$ [/mm] ist [mm] $\infty$, [/mm] weil [mm] $sin(x_{0})+e^{-y_{0}} [/mm] > 1$. Kann [mm] $x_{max}$ [/mm] nur endlich gewählt werden, dann ist [mm] $sin(x_{max})=sin(x_{0}+e^{-y_{0}})$ [/mm] zu betrachten. Also für [mm] $x\rightarrow x_{max}$ $\lim_{x\rightarrow x_{max}} \log \frac{1}{-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0}} \rightarrow \infty$.
[/mm]
c) [mm] $-\infty$ [/mm]
So OK?
Bin für jegliche Hilfestellung sehr dankbar!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 So 09.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die DGL [mm]y'(x)= cos(x)exp(y(x)), x, y(x) \in \IR[/mm].
>
> a) Geben Sie eine explizite Lösung des Anfangswertproblems
> dieser DGL mit [mm]y(x_{0})=y_{0}[/mm] an.
>
> b) Sei [mm][x_{0},x_{max}[[/mm] das längste Existenzintervall der
> Lösung. Für welche [mm](x_{0},y_{0})[/mm] gilt [mm]x_{max}=\infty[/mm]? Wie
> verhält sich [mm]y(x)[/mm] für [mm]x\rightarrow x_{max}[/mm], wenn [mm]x_{max}[/mm]
> endlich ist?
>
> c) Bestimmen Sie [mm]lim_{x\uparrow x_{max}}[/mm]
> Hallo!
>
>
> a) [mm]\frac{dy}{dx} = cos(x)e^{y} [/mm]
> [mm]\Rightarrow \int\frac{1}{e^{y}}dy = \int cos(x)dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -e^{-y}=sin(x) + c[/mm]
> [mm]\Rightarrow y = -log(-sin(x)-c)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow c=-e^{-y_{0}}-sin(x_{0})[/mm]
>
> Lösung des AWP: [mm]y=-log(-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0}))= log(\frac{1}{-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0})})[/mm]
>
>
> b) Es muss [mm]e^{-y_{0}}+sin(x_{0})) > sin(x)[/mm] sein, damit eine
> Lösung des AWPs existiert. [mm]x_{max}[/mm] ist [mm]\infty[/mm],
?????
> weil
> [mm]sin(x_{0})+e^{-y_{0}} > 1[/mm]
Für [mm] x_0=0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] = 3000000 stimmt das aber nicht.
FRED
> . Kann [mm]x_{max}[/mm] nur endlich
> gewählt werden, dann ist
> [mm]sin(x_{max})=sin(x_{0}+e^{-y_{0}})[/mm] zu betrachten. Also für
> [mm]x\rightarrow x_{max}[/mm] [mm]\lim_{x\rightarrow x_{max}} \log \frac{1}{-sin(x)+e^{-y_{0}}+sin(x_{0}} \rightarrow \infty[/mm].
>
>
> c) [mm]-\infty[/mm]
>
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> So OK?
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> Bin für jegliche Hilfestellung sehr dankbar!
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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Hallo,
> ?????
$log(..) $ ist für alle $sin(x) < [mm] sin(x_{0})+e^{-y_{0}}$ [/mm] definiert. Gesucht für das grösste Intervall ist also das kleinste x mit $sin(x) [mm] \ge sin(x_{0})+e^{-y_{0}}$, [/mm] das ist [mm] $x_{max}$. [/mm] Wegen der Beschränktheit von sin(x) gibt es kein [mm] $x\ge sin(x_{0}) e^{-y_{0}} [/mm] $, wenn [mm] $sin(x_{0})+e^{-y_{0}}>1$. [/mm] Deswegen muss [mm] $x_{max}= \infty$ [/mm] sein und damit [mm] $sin_{x_{0}}+e^{-y_{0}}> [/mm] 1$ Für ein endliches [mm] $x_{max}$ [/mm] gilt [mm] $sin(x)=sin(x_{0})+e^{-y_{0}}$ [/mm] und damit [mm] $\lim _{x\rightarrow x_{max}} \log \frac{1}{-sin(x)+sin(x_{0})+e^{-y_{0}}} \rightarrow \infty$
[/mm]
Ist das OK und stimmt der Rest?
> FRED
Vielen Dank!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 12.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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