lagrange hyperbel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 16.03.2015 | | Autor: | LGS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Bestimmen sie das Maximum und das Minimum der Funktion $ f(x,y9=\frac{y}{x^2+y^2}$ auf der Hyperbel $H:=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2-y^2=1\}$ |
so $g(x,y)= x^2-y^2-1$
$\nabla f(x,y)= \vektor{-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\\ \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}}$
$\nabla g(x,y)= \vektor{2x \\ 2y}$
$I. -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} = 2\lambda x$
$II. \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}= -2\lambda y$
angenommen $\lambda \neq 0$
$I. -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} = 2\lambda x$
$ \gdw -\frac{xy}{\lambda(x^2+y^2)^2} = x $
$II. \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}= -2\lambda y$
$ \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{y^2}{\lambda(x^2+y^2)^2}= y$
$ \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{-y}{x}-{\frac{xy}{\lambda(x^2+y^2)^2}= y$
$ \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{-y}{x}x= y$
$ \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+-y= y$
$ \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}= 2y$
jetzt komme ich nciht weiter sind die umformungen denn richtig bisher?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 16.03.2015 | | Autor: | LGS |
okay danke
dann die erste Annahme
$x=0 [mm] \Rightarrow y^2 [/mm] = -1$ widerspruch
$y=0 [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1$
nun angenommen $x = y [mm] \neq [/mm] 0$
$ I. [mm] -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm] = [mm] 2\lambda [/mm] x $
$ [mm] \gdw -\frac{y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] $
$ II. [mm] \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}= -2\lambda [/mm] y $
$ [mm] \gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{y}{(x^2+y^2)^2}= \lambda [/mm] $
$ [mm] -\frac{y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
$ [mm] \gdw -\lambda [/mm] = [mm] -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+ \lambda$ [/mm]
$ [mm] \gdw 2\lambda [/mm] = [mm] -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}$ [/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] -\frac{1}{(x^2+y^2)}$ [/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] -x^2-y^2$ [/mm]
$ [mm] \gdw y^2-1 [/mm] = [mm] x^2$ [/mm]
$ [mm] \gdw \pm \sqrt{y^2-1} [/mm] = x$
mit neben bedingung
$ [mm] y^2-1+y^2 [/mm] =1 [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0$
also extrema $( [mm] \pm [/mm] 1, 0 ),(0, [mm] \pm [/mm] 1)$
$ [mm] \Rightarrow \underbrace{( \pm 1, 0 )}_{=P_{1,2}} [/mm] , [mm] \underbrace{(0, \pm 1))}_{=P_{3,4}}$
[/mm]
[mm] $f(P_{1,2})= [/mm] 0 $
$f( [mm] P_3) [/mm] =-1$
[mm] $f(P_4)= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow P_4$ [/mm] maximum und $ [mm] P_3$ [/mm] minimum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:46 Di 17.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> okay danke
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> dann die erste Annahme
>
> [mm]x=0 \Rightarrow y^2 = -1[/mm] widerspruch
>
> [mm]y=0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1[/mm]
>
> nun angenommen [mm]x = y \neq 0[/mm]
>
> [mm]I. -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} = 2\lambda x[/mm]
> [mm]\gdw -\frac{y}{(x^2+y^2)^2} = \lambda [/mm]
>
>
> [mm]II. \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}= -2\lambda y[/mm]
>
> [mm]\gdw -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{y}{(x^2+y^2)^2}= \lambda [/mm]
Hä ? Hast Du nun durch $2 [mm] \lambda$ [/mm] dividiert oder durch 2y ?
FRED
>
> [mm]-\frac{y}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+\frac{y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw -\lambda = -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}+ \lambda[/mm]
> [mm]\gdw 2\lambda = -\frac{1}{2\lambda(x^2+y^2)}[/mm]
> [mm]\gdw 1 = -\frac{1}{(x^2+y^2)}[/mm]
> [mm]\gdw 1 = -x^2-y^2[/mm]
> [mm]\gdw y^2-1 = x^2[/mm]
> [mm]\gdw \pm \sqrt{y^2-1} = x[/mm]
>
> mit neben bedingung
>
> [mm]y^2-1+y^2 =1 \Rightarrow y = \pm 1 \Rightarrow x=0[/mm]
>
> also extrema [mm]( \pm 1, 0 ),(0, \pm 1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \underbrace{( \pm 1, 0 )}_{=P_{1,2}} , \underbrace{(0, \pm 1))}_{=P_{3,4}}[/mm]
>
>
> [mm]f(P_{1,2})= 0[/mm]
>
> [mm]f( P_3) =-1[/mm]
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> [mm]f(P_4)= 1 \Rightarrow P_4[/mm] maximum und [mm]P_3[/mm] minimum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 17.03.2015 | | Autor: | LGS |
du [mm] $\lambda$ [/mm] fred ! I beg your pardon!
wieder die erste annahme
$ x=0 [mm] \Rightarrow y^2 [/mm] = -1 $ widerspruch
$ y=0 [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1 $
nun angenommen $ x = y [mm] \neq [/mm] 0 $
$ I. [mm] \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm] = [mm] 2\lambda [/mm] x $
$ [mm] \gdw \frac{y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] $
$ II. [mm] \frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}= -2\lambda [/mm] y $
$ [mm] \gdw -\frac{1}{2y(x^2+y^2)}+\frac{y}{(x^2+y^2)^2}= \lambda [/mm] $
lambda gleich gesetzt
$ [mm] -\frac{1}{2y(x^2+y^2)}+\lambda= \lambda [/mm] $
$ [mm] \gdw -\frac{1}{2y(x^2+y^2)}= [/mm] 0 $
$ [mm] \gdw y(x^2+y^2)= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y =0 ^ [mm] x^2=-y^2$ [/mm]
$ y=0$ wurde schon behandelt
[mm] $x^2=-y^2$ [/mm] mit N.B
[mm] $2x^2=1 \Rightarrow [/mm] x= [mm] \pm \sqrt{\frac{1}{2}} [/mm] $
nun folgt [mm] y^2= \frac{1}{2} [/mm] aber widerpsruch deshalb
einziges Extremum
[mm] (\pm [/mm] 1,0) [mm] \Rightarrow f(\pm [/mm] 1,0)= 0 also lokale minima beide Punkte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 17.03.2015 | | Autor: | LGS |
hi danke notinx
$ [mm] -\frac{y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{2y(x^2+y^2)^2} [/mm] $
$ [mm] \gdw -y=\frac{y^2-x^2}{2y} [/mm] $
$ [mm] \gdw -2y^2=y^2-x^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw 0=3y^2-x^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw x^2=3y^2 [/mm] $
mit N.B
[mm] $3y^2-y^2=1 \Rightarrow [/mm] y= [mm] \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \Rightarrow [/mm] x= [mm] \pm \sqrt{\frac{3}{2}} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow (\pm [/mm] 1,0) [mm] \Rightarrow f(\pm [/mm] 1,0)= 0$
[mm] $\Rightarrow (\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \m \sqrt{\frac{1}{2}}) \Rightarrow f(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \m \sqrt{\frac{1}{2}}= [/mm] -0,3535$
[mm] $\Rightarrow (\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}) \Rightarrow f(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}= [/mm] 0,3535$
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Di 17.03.2015 | | Autor: | notinX |
> hi danke notinx
>
> [mm]-\frac{y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{2y(x^2+y^2)^2}[/mm]
> [mm]\gdw -y=\frac{y^2-x^2}{2y}[/mm]
> [mm]\gdw -2y^2=y^2-x^2[/mm]
> [mm]\gdw 0=3y^2-x^2[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2=3y^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> mit N.B
> [mm]3y^2-y^2=1 \Rightarrow y= \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (\pm 1,0) \Rightarrow f(\pm 1,0)= 0[/mm]
Das verstehe ich nicht.
>
> [mm]\Rightarrow (\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \m \sqrt{\frac{1}{2}}) \Rightarrow f(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \m \sqrt{\frac{1}{2}}= -0,3535[/mm]
Diese Folgerung verstehe ich auch nicht, aber das Ergebnis stimmt. Ich würde lieber einen symbolischen als einen numerischen Ausdruck angeben.
>
>
> [mm]\Rightarrow (\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}) \Rightarrow f(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}= 0,3535[/mm]
>
>
> so richtig?
>
Ja.
Gruß,
notinX
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
