lagrange'schen Multiplikator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte von [mm] f(x,y)=x^2-y^2
[/mm]
unter der Nebenbedingung: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
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Ich habe die Lösung der Aufgabe durch Einsetzen der Nebenbedingun in die Funktion schon raus bekommen.
Nur möchte ich jetzt diese Aufgabe mit Hilfe von Lagrange'schen Multiplikator lösen: [mm] L(x,y,\lambda):=x^2-y^2-\lambda(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] \partial L_{x}(x,y,\lambda)=2x-2x\lambda
[/mm]
[mm] \partial L_{y}(x,y,\lambda)=-2y-2y\lambda
[/mm]
[mm] \partial L_{\lambda}(x,y,\lambda)=-x^2-y^2+1
[/mm]
So wenn ich jetzt die erste gleichung nach [mm] \lambda [/mm] umstelle erhalte ich [mm] \lambda=1 [/mm] für [mm] x\not=0, [/mm] bei der zweiten Gleichung erhalte ich für [mm] \lambda=-1 [/mm] für [mm] y\not=0. [/mm] Das ist doch ein Wiederspruch!
Ich habe schon viele Lagrage aufgaben bearbeitet, aber diese einfache Aufgabe macht mir sorgen.
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo Lorence,
> Bestimmen Sie alle lokalen Extremwerte von [mm]f(x,y)=x^2-y^2[/mm]
> unter der Nebenbedingung: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1
>
>
> Ich habe die Lösung der Aufgabe durch Einsetzen der
> Nebenbedingun in die Funktion schon raus bekommen.
>
> Nur möchte ich jetzt diese Aufgabe mit Hilfe von
> Lagrange'schen Multiplikator lösen:
> [mm]L(x,y,\lambda):=x^2-y^2-\lambda(x^2+y^2-1)[/mm]
>
> [mm]\partial L_{x}(x,y,\lambda)=2x-2x\lambda[/mm]
>
> [mm]\partial L_{y}(x,y,\lambda)=-2y-2y\lambda[/mm]
>
> [mm]\partial L_{\lambda}(x,y,\lambda)=-x^2-y^2+1[/mm]
>
> So wenn ich jetzt die erste gleichung nach [mm]\lambda[/mm] umstelle
> erhalte ich [mm]\lambda=1[/mm] für [mm]x\not=0,[/mm] bei der zweiten
> Gleichung erhalte ich für [mm]\lambda=-1[/mm] für [mm]y\not=0.[/mm] Das ist
> doch ein Wiederspruch!
>
> Ich habe schon viele Lagrage aufgaben bearbeitet, aber
> diese einfache Aufgabe macht mir sorgen.
>
> Wo liegt mein Fehler?
Nun, aus [mm]L_{x}=0[/mm] folgen zwei Fälle: [mm]x=0[/mm], [mm]\lambda=1[/mm]
Betrachte diese Fälle separat, d.h. woraus ergeben sich die anderen Werte
im Fall [mm]x=0[/mm] bzw. im Fall [mm]\lambda=1[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, für [mm] L_{y} [/mm] wäre aber dann y=0 und [mm] \lamba=-1, [/mm] wenn ich jetzt x=y=0 in die NB einsetze : 0 + 0 + 1 = 1
Die Aufgabe irretiert mich!
Mfg
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Hallo Lorence,
> Okay, für [mm]L_{y}[/mm] wäre aber dann y=0 und [mm]\lamba=-1,[/mm] wenn ich
> jetzt x=y=0 in die NB einsetze : 0 + 0 + 1 = 1
Betrachten wir den Fall [mm]\lambda=1[/mm]:
Aus [mm]L_{y}=0[/mm] folgt dann [mm]y=0[/mm]
Damit folgt aus [mm]L_{\lambda}=0[/mm] [mm]x=\pm 1[/mm]
Somit hast Du schon mal zwei Kandidaten für mögliche Extrema.
Analog geht das für den Fall [mm]x=0[/mm].
>
> Die Aufgabe irretiert mich!
>
> Mfg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay stimmt, danke für deine Hilfe
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