lambda mal null -beweis? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 29.06.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | V ist ein Vektorraum über dem Körper K, $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$
Gesucht ist der Beweis für [mm] $\lambda [/mm] = 0$ oder $v=0$ wenn [mm] $\lambda [/mm] v = 0$
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Hier stehe ich recht Ratlos da. Aus einem anderen Lehrbuch erinnere ich mich an die Zeile $v = 1 [mm] \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] 0 = 0$
Ist das denn schon genug? Das sieht für mich eher aus wie eine explizitere Darstellung der Forderung [mm] $\lambda [/mm] v = 0$ als für den Beweis dieses Sachverhalts.
lg, Dennis
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Hallo Dennis,
> V ist ein Vektorraum über dem Körper K, [mm]v \in V[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm]
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> Gesucht ist der Beweis für [mm]\lambda = 0[/mm] oder [mm]v=0[/mm] wenn
> [mm]\lambda v = 0[/mm]
>
> Hier stehe ich recht Ratlos da. Aus einem anderen Lehrbuch
> erinnere ich mich an die Zeile $v = 1 [mm] \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot [/mm] v = [mm] \lambda^{\red{-1}} [/mm] 0 = 0$
Da muss doch [mm] $\lambda^{-1}$ [/mm] stehen!.
Die Zeile (bis zum letzten "=") gilt für [mm] $\lambda\neq [/mm] 0$ und folgt allein aus den VR- und Körperaxiomen und der Vor. [mm] $\lambda [/mm] v=0$), denn jedes Körperelement [mm] \neq [/mm] 0 ist invertierbar.
Bleibt einzig der letzte Schritt [mm] $\lambda^{-1} [/mm] 0=0$ zu begründen, aus welchem Vektorraumaxiom folgerst du das?
Für den anderen möglichen Fall, also [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist die Aussage offenbar auch wahr
>
> Ist das denn schon genug? Das sieht für mich eher aus wie
> eine explizitere Darstellung der Forderung [mm]\lambda v = 0[/mm]
> als für den Beweis dieses Sachverhalts.
Begründe den letzten Schritt und es passt, alternativ kannst du so vorgehen:
[mm] $\lambda v=0\Rightarrow \lambda v+\lambda [/mm] v=0+0$
[mm] $\Rightarrow \lambda(v+v)=0$ [/mm] (aus welchen VR-Axiomen folgen diese Umformungen?)
[mm] $\Rightarrow \lambda(v+v)=\lambda [/mm] v$
1. Fall: [mm] $\lambda\neq [/mm] 0$
Dann ist [mm] $\lambda$ [/mm] invertierbar und weiter ähnlich wie oben
2.Fall: [mm] $\lambda=0$ [/mm] fertig
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> lg, Dennis
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 05.07.2009 | | Autor: | pittster |
ich weiß nicht, ob es an dieser furchtbaren hitze liegt oder ob ich im moment wirklich ein wenig auf dem schlauch stehe, aber diese zeile sagt mir auf anhieb recht wenig ($ v = 1 [mm] \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot [/mm] v = [mm] \lambda^{\red{-1}} [/mm] 0 = 0 $).
$ v = 1 [mm] \cdot [/mm] v$ ist mir noch klar.
[mm] $\lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot [/mm] v$ ist ja auch nichts anderes.
[mm] $\lambda^{\red{-1}} [/mm] 0 = 0 $ << ??
soll das zeigen, dass [mm] $\frac{0}{\lambda}=0$ [/mm] ist?
gerade dieser kleine beweis, der wahrscheinlich mehr als trivial ist, bereitet mir gerade ein wenig mühe. gibt es dazu eine ausführlichere erleuterung?
lg, Dennis
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Hallo,
Du sollst zeigen:
[mm] \lambda [/mm] v=0 ==> [mm] \lambda=0 [/mm] oder v=0.
Beweis: Sei [mm] \lambda [/mm] v=0.
Falls [mm] \lambda\not=0, [/mm] dann gibt es [mm] \lambda^-1,
[/mm]
und es gilt v=1*v= [mm] (\lambda^{-1}\lambda)*v=\lambda^{-1}(\green{\lambda*v})=\lambda^{-1}*\blue{0}=0.
[/mm]
Beim grün-blau Übergang verwende ich die Voraussetzung, und beim letzten Gleichheitszeichen, daß 0*w=0 für alle Vektoren w.
Gruß v. Angela
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