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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 So 01.05.2011 | | Autor: | wergor |
| Aufgabe | berechne folgende laurententwicklungen:
a) [mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}, [/mm] in [mm] z_0 [/mm] = 1 |
hi,
ich habe schwierigkeiten mit der laurententwicklung.
ich will die gleichung
[mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)} [/mm]
auf die form
[mm] \summe_{k = -\infty}^{\infty} a_k (z-1)^k [/mm]
bringen.
[mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)} [/mm] hat an [mm] z_0 [/mm] eine hebbare lücke, weil
[mm] \limes_{n\rightarrow 1} [/mm] (z - 1) [mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z - 2i} [/mm]
daher reduziert sich die laurentreihe auf eine potenzreihe. aber wie komme ich jetzt zu meiner reihe? partialbruchzerlegung funktioniert nicht.
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Hallo wergor,
> berechne folgende laurententwicklungen:
> a) [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)},[/mm] in [mm]z_0[/mm] = 1
>
> hi,
>
> ich habe schwierigkeiten mit der laurententwicklung.
> ich will die gleichung
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm]
> auf die form
> [mm]\summe_{k = -\infty}^{\infty} a_k (z-1)^k[/mm]
> bringen.
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] hat an [mm]z_0[/mm] eine hebbare lücke,
> weil
> [mm]\limes_{n\rightarrow 1}[/mm] (z - 1) [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{z - 2i}[/mm]
> daher reduziert sich die laurentreihe auf eine potenzreihe.
> aber wie komme ich jetzt zu meiner reihe?
> partialbruchzerlegung funktioniert nicht.
Der Weg geht über die Partialbruchzerlegung von
[mm]\bruch{1}{\left(z-1\right)*\left(z-2i\right)}=\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{z-2i}[/mm]
Schreibe dann [mm]z-2i=\left(z-1\right)+\left(1-2i\right)[/mm]
um den Bruch
[mm]\bruch{B}{z-2i}[/mm]
in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=1[/mm] zu entwickeln.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> berechne folgende laurententwicklungen:
> a) [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)},[/mm] in [mm]z_0[/mm] = 1
>
> hi,
>
> ich habe schwierigkeiten mit der laurententwicklung.
> ich will die gleichung
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm]
> auf die form
> [mm]\summe_{k = -\infty}^{\infty} a_k (z-1)^k[/mm]
> bringen.
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] hat an [mm]z_0[/mm] eine hebbare lücke,
Das ist doch Quatsch ! [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] hat in [mm] z_0=1 [/mm] einen Pol 1. Ordnung !
FRED
> weil
> [mm]\limes_{n\rightarrow 1}[/mm] (z - 1) [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{z - 2i}[/mm]
> daher reduziert sich die laurentreihe auf eine potenzreihe.
> aber wie komme ich jetzt zu meiner reihe?
> partialbruchzerlegung funktioniert nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 02.05.2011 | | Autor: | wergor |
> Das ist doch Quatsch ! [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] hat in
> [mm]z_0=1[/mm] einen Pol 1. Ordnung !
>
>
> FRED
ICH BIN DOOF :-D
natürlich ist das ein pol 1. ordnung -_-
das sollte die sache jetzt eigentlich stark vereinfachen, in meinem skirptum steht nämlich "existiert ein [mm] a_{-n} \not= [/mm] 0 mit [mm] a_{-n - 1} a_{-n - 2} [/mm] = ... = 0 dann wird [mm] z_0 [/mm] als polstelle bezeichnet". kann ich auch den umgekehrten schluss ziehen, also dass, wenn ich an [mm] z_0 [/mm] eine polstelle habe, alle [mm] a_{-n - 1}, a_{-n - 2} [/mm] etc = 0 sind (ab einem bestimmten n, das ich noch herausfinden muss, ich habe stark die ordnung der polstelle als wert für n unter verdacht)? meine hirngespinste :-D reichen dann noch weiter bis zum ergebnis, dass die laurententwicklung von [mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z - 2i}(z [/mm] - [mm] 1)^{-1} [/mm] sein könnte....
> Der Weg geht über die Partialbruchzerlegung von
>
> [mm]\bruch{1}{\left(z-1\right)*\left(z-2i\right)}=\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{z-2i}[/mm]
>
> Schreibe dann [mm]z-2i=\left(z-1\right)+\left(1-2i\right)[/mm]
> um den Bruch
>
> [mm]\bruch{B}{z-2i}[/mm]
>
> in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=1[/mm] zu entwickeln.
>
>
> Gruss
> MathePower
ich schaff die partialbruchzerlegung nicht. ich komme von
[mm] \bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)} [/mm] auf
A(z - 2i) + B(z - 1) = 1 durch koeffizientenvergleich auf die gleichungen
(1) A + B = 0
(2) -2iA - B = 1
wie gehts von hier aus weiter? ich verstehe gerade nicht, wie mir ergänzung hier weiterhelfen kann.
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Hallo wergor.,
> > Das ist doch Quatsch ! [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] hat in
> > [mm]z_0=1[/mm] einen Pol 1. Ordnung !
> >
> >
> > FRED
>
> ICH BIN DOOF :-D
>
> natürlich ist das ein pol 1. ordnung -_-
> das sollte die sache jetzt eigentlich stark vereinfachen,
> in meinem skirptum steht nämlich "existiert ein [mm]a_{-n} \not=[/mm]
> 0 mit [mm]a_{-n - 1} a_{-n - 2}[/mm] = ... = 0 dann wird [mm]z_0[/mm] als
> polstelle bezeichnet". kann ich auch den umgekehrten
> schluss ziehen, also dass, wenn ich an [mm]z_0[/mm] eine polstelle
> habe, alle [mm]a_{-n - 1}, a_{-n - 2}[/mm] etc = 0 sind (ab einem
> bestimmten n, das ich noch herausfinden muss, ich habe
> stark die ordnung der polstelle als wert für n unter
> verdacht)? meine hirngespinste :-D reichen dann noch weiter
> bis zum ergebnis, dass die laurententwicklung von
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{z - 2i}(z[/mm] - [mm]1)^{-1}[/mm]
> sein könnte....
>
>
>
> > Der Weg geht über die Partialbruchzerlegung von
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{\left(z-1\right)*\left(z-2i\right)}=\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{z-2i}[/mm]
> >
> > Schreibe dann [mm]z-2i=\left(z-1\right)+\left(1-2i\right)[/mm]
> > um den Bruch
> >
> > [mm]\bruch{B}{z-2i}[/mm]
> >
> > in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=1[/mm] zu entwickeln.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> ich schaff die partialbruchzerlegung nicht. ich komme von
> [mm]\bruch{1}{(z - 1)(z - 2i)}[/mm] auf
> A(z - 2i) + B(z - 1) = 1 durch koeffizientenvergleich auf
> die gleichungen
> (1) A + B = 0
> (2) -2iA - B = 1
> wie gehts von hier aus weiter? ich verstehe gerade nicht,
Löse jetzt dieses Gleichungssystem nach A und B auf.
> wie mir ergänzung hier weiterhelfen kann.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 02.05.2011 | | Autor: | wergor |
(1) A + B = 0 --> B = -A
(2) -2iA - B = 1 --> -2iA + A = 1 --> A(1-2i) = 1
welche r wert für A erfüllt die gleichung?
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> (1) A + B = 0 --> B = -A
> (2) -2iA - B = 1 --> -2iA + A = 1 --> A(1-2i) = 1
> welche r wert für A erfüllt die gleichung?
teile durch die klammer, dann steht A alleine dort
gruß tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 03.05.2011 | | Autor: | wergor |
*facepalm* kann mir bitte jemand ein gehirn besorgen, danke :-D
jetzt habe ich durch die partialbruchzerlegung folgenden term erhalten:
A = [mm] \bruch{1}{2i - 1}, [/mm] B = [mm] \bruch{-1}{2i - 1}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 1} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 2i} [/mm] wobei ich den zweiten teil umgeformt habe zu [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{z - 1}{2i - 1}}
[/mm]
um die summe
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z - 1}{2i - 1})^n [/mm] zu erhalten.
die laurententwicklung von
[mm] \bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 1}
[/mm]
wäre wohl [mm] \bruch{1}{2i - 1}(z [/mm] - [mm] 1)^{-1}
[/mm]
stimmt das?
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Hallo wergor,
> *facepalm* kann mir bitte jemand ein gehirn besorgen, danke
> :-D
>
> jetzt habe ich durch die partialbruchzerlegung folgenden
> term erhalten:
> A = [mm]\bruch{1}{2i - 1},[/mm] B = [mm]\bruch{-1}{2i - 1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 1}[/mm] - [mm]\bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 2i}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\blue{-}\bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 1} \blue{+}\bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 2i}[/mm]
> wobei ich den zweiten teil umgeformt habe zu [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{z - 1}{2i - 1}}[/mm]
>
> um die summe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{z - 1}{2i - 1})^n[/mm] zu erhalten.
Für [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{z - 1}{2i - 1}}[/mm] stimmt diese Reihe.
Allerdings konvergiert diese dann nur für [mm]\vmat{\bruch{z-1}{2i-1}} < 1[/mm]
> die laurententwicklung von
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2i - 1}}{z - 1}[/mm]
> wäre wohl [mm]\bruch{1}{2i - 1}(z[/mm]
> - [mm]1)^{-1}[/mm]
Das ist richtig.
>
> stimmt das?
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Fr 06.05.2011 | | Autor: | wergor |
danke
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