laurentreihe entwickeln < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | für die funktion [mm] f(z)=\bruch{2}{z(z^{2}+1)} [/mm] bestimme man die laurentreihen im bereich A= { [mm] z\in\IC [/mm] : 0<|z|<0,5} |
hätte folgende partialbruchzerlegung: f(z)= [mm] \bruch{2}{z}-\bruch{1}{z+i}-\bruch{1}{z-i} [/mm] und für den zweiten bruch nach umformung in [mm] -\bruch{1}{i} \bruch{1}{1-(-\bruch{z}{i})} [/mm] und mit geom. reihe folgt ...= [mm] -\bruch{1}{i} \summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z}{i})^{k}=-\bruch{1}{i} \summe_{k=0}^{-\infty}(-\bruch{z}{i})^{-k}
[/mm]
stimmt das soweit? analog für den bruch [mm] -\bruch{1}{z-i}= [/mm] ...= [mm] \bruch{1}{i} \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{i})^{k}
[/mm]
kann ich dann die funktion schon als summe der beiden reihen schreiben und wie bring ich das [mm] \bruch{2}{z} [/mm] unter. kann ich das so stehen lassen oder kann ich es iwie in eine reihe miteinbasteln? oder ist alles falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du machst das viel zu umständlich !
Es ist $f(z)= [mm] \bruch{2}{z} [/mm] - [mm] \bruch{2z}{z^2+1}$
[/mm]
Für |z|<1 ist [mm] \bruch{2z}{z^2+1} [/mm] holomorph und
[mm] $\bruch{2z}{z^2+1}= \bruch{2z}{1-(-z^2)}= [/mm] 2z [mm] *\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*z^{2n}= \summe_{n=0}^{\infty}2(-1)^n*z^{2n+1}$
[/mm]
Fertig ist Der Nebenteil der gesuchten Laurententwicklung (bis aufs Vorzeichen)
Du fragst " wie bring ich das $ [mm] \bruch{2}{z} [/mm] $ unter ?"
Antwort: [mm] \bruch{2}{z} [/mm] ist der Hauptteil der gesuchten Laurententwicklung.
Also:
$f(z)=- [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2*(-1)^n*z^{2n+1}+ \bruch{2}{z}= \summe_{n=0}^{\infty}2*(-1)^{n+1}*z^{2n+1}+ \bruch{2}{z}$ [/mm] für $0<|z|<1$
FRED
|
|
|
|
