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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:19 Sa 24.10.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Es sei $K$ ein Körper .Zeigen sie,dass
$a)$ eine assoziative K-Algebra zusammen mit der Abbildung
$[ , ]:A [mm] \times [/mm] A [mm] \to [/mm] A, (a,b) [mm] \mapsto[a,b]:=ab-ba$
[/mm]
$b)$ der [mm] $\IR-$ [/mm] Vektorraum [mm] $\IR^3$ [/mm] zusammen mit dem Kreuzprodukt [mm] $\times:\IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] definiert durch
[mm] $\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}\times\vektor{w_1 \\ w_2 \\ w_3} [/mm] := [mm] \vektor{v_2w_3-v_3w_2\\ v_3w_1-v_1w_3\\v_1w_2-v_2w_1}$ [/mm] |
hallo:)
z.zeigen
$1.[a,a]=0 [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A$
$2. [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$.$ [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] A$
$3. [x a + b y, c] = x[a, c] + y [b, c]$ und$ [c, x a + b y] = x [c, a] + y[c, b]$
[mm] $\forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$ 1. [ , ]:A [mm] \times [/mm] A [mm] \to [/mm] A, (a,b) [mm] \mapsto[a,a]:=aa-aa=0$ [/mm] erstens ist erfüllt
$2.[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=[a,(bc-cb)]+[b,(ca-ac)]+[c,(ab-ba)]= a(bc-cb)-(bc-cb)a+b*(ca-ac)-(ca-ac)*b+c*(ab-ba)-(ab-ba)*c= abc-acb+-bca+cba+bca-bac-cab+acb+cab-cba-abc+bac=0$ stimmt :)
$3[x a + b y, c] = (xa+by)*c-c*(xa+by)$ jetzt mit distributiv gesetzt $xac+byc-cxa+cby$ jetzt assoziativ und kommutativ gesetzt $ (cx)*a+(yc)*b-(cx)*a+(cb)*y= (acx-cxa)+(byc-cyb)= x[a, c] + y [b, c]$
die andere richtung des beweis' der bilinearität geht genau so:)
jetzt das kreuzprodukt
[mm] $\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}\times\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] := [mm] \vektor{v_2v_3-v_3v_2\\ v_3v_1-v_1v_3\\v_1v_2-v_2v_1}=\vektor{0\\ 0\\0}$
[/mm]
da [mm] $v_1,v_2,v_3 \in \IR [/mm] $gilt kommutativität
2.
bei der jacobi-identität hab ich leider null plan,wie da ran gehe..:/
3.
[mm] $\vektor{xv_1+yw_1 \\ xv_2+yw_2 \\ xv_3+yw_3}\times\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3} :=\vektor{(xv_2+yw_2 )z_3-(xv_3+yw_3 )z_2\\ (xv_3+yw_3 )z_1-(xv_1+yw_1 )z_3\\(xv_1+yw_1 )z_2-(xv_2+yw_2 )z_1}= x*\vektor{v_2z_3-v_3z_2\\ v_3z_1-v_1z_3\\v_1z_2-v_2z_1}+y*\vektor{w_2 z_3-w_3 z_2\\ w_3z_1-w_1 z_3\\w_1 z_2-w_2 z_1}=x*(\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}\times\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3})+y*(\vektor{w_1 \\ w_2 \\ w_3}\times\vektor{z_1 \\ z_2 \\ z_3}).
[/mm]
die andere richtung des beweis' der bilinearität geht genau so:)
ist das so gut?:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 24.10.2015 | | Autor: | hippias |
Fuer die Jacobi-Identitaet eine unter Physikern beliebte Gleichung: [mm] $a\times (b\times [/mm] c)= [mm] b(a\cdot c)-c(a\cdot [/mm] b)$, wobei [mm] $\cdot$ [/mm] das Skalarprodukt. Wenn das auch nicht hilft: direkt ausrechnen fuehrt immer zum Erfolg.
Das andere habe ich mir nicht genau angeschaut; es sieht aber vernuenftig aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 So 25.10.2015 | | Autor: | nkln |
vielen dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 26.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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