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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x+3}{x-3})^x [/mm] |
Hallo,
ich stecke bei diesem beispiel.
Habe zuerst den ln angewandt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*ln(\bruch{x+3}{x-3})
[/mm]
und daraus dann [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*(ln(x+3)-ln(x-3)
[/mm]
dann komme ich auf die Form [mm] \infty*(\infty-\infty)
[/mm]
hab hier also [mm] \infty-\infty, [/mm] was ein unbestimmter ausdruck ist. wie kann ich den jetzt umformen (bzw. wo), damit ich auf die form [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] komm?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 01.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde es mal wie folgt versuchen:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x+3}{x-3})^x [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x-3+6}{x-3})^x [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x-3}{x-3}+\bruch{6}{x-3})^x [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(1+\bruch{6}{x-3})^x [/mm] $
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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ah okay ja.. das hab ich nicht bedacht, dass man es so vereinfachen kann.
vielen dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mi 01.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dieser "Summentrick" ist relativ hilfreich, wenn man solche Brüche so umformen will, dass man ohne Probleme den Grenzwert bilden kann.
Das war einer der häufigsten verwendeten Kniffe bei unseren Übungsaufgaben.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mi 01.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Ähm... die Umformung ist schon richtig aber was genau soll das bringen? Was kommt denn eurer Meinung nach raus?
Gruß, Robert
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Hallo Robert,
[mm] $\left(1+\frac{6}{x-3}\right)^x=\left(1+\frac{6}{x-3}\right)^{x-3}\cdot{}\left(1+\frac{6}{x-3}\right)^3 [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] e^6\cdot{}1^3=e^6$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mi 01.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Hmm... gut das mal gesehen zu haben. Danke.
Gruß, Robert
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo green-apple,
neben dem eleganten und schnellen Weg von Marius geht dein Weg über die Def. der allg. Potenz und Anwendung von de l'Hôpital auch:
Du musst nur ein wenig anders umformen, da $\infty-\infty$ ein unbestimmter Ausdruck ist ...
$\left(\frac{x+3}{x-3}\right)^x=e^{x\cdot{}\ln\left(\frac{x+3}{x-3}\right)}$
Dann nimmst du dir richtigerweise den Exponenten raus:
$x\cdot{}\ln\left(\frac{x+3}{x-3}\right)=x\cdot{}\ln\left(\frac{x\cdot{}\left(1+\frac{3}{x}\right)}{x\cdot{}\left(1-\frac{3}{x}\right)}\right)}$
$=\frac{\ln\left(\frac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{3}{x}\right)}}{\frac{1}{x}}$
Das ist nun in der gewünschten Quotientenform und strebt für $x\to\infty$ gegen $\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}$
Du kannst also auf den Ausdruck $\frac{\ln\left(\frac{x+3}{x-3}\right)}{\frac{1}{x}}$ de l'Hôpital loslassen
Den GW, den du erhältst nachher noch $e^{GW}$ nehmen ...
LG
schachuzipus
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Setze x-3=z , dann hast du den Term
[mm] \left(\bruch{z+6}{z}\right)^{z+3}=\left(1+\bruch{6}{z}\right)^{z+3}=\left(1+\bruch{6}{z}\right)^{z}*\left(1+\bruch{6}{z}\right)^{3}
[/mm]
Jetzt kannst du den Grenzwert für jeden Faktor
separat bilden. Klingelt's ? (Euler lässt grüßen  )
Al Chwarizmi
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