limes Beweis mit Wurzel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 So 05.12.2004 | | Autor: | Grimfast |
Hallo,
ich komme mit folgender Aufgabe nicht klar und wäre für Hilfe dankbar. Wirkt zwar recht simpel aber ich habe keinen Ansatzpunkt :
Zeigen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, Grimfast,
wenn Du L'Hospital und "der Logarithmus des Grenzwertes = dem Grenzwert des Logarithmus"
verwenden darfst habe ich Dir damit wohl schon genug geholfen (?) .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 05.12.2004 | | Autor: | Grimfast |
Hallo,
L'Hospital haben wir leider noch gar nicht behandelt. Wir haben eigentlich keine Einschränkungen was wir benutzen dürfen also schau ich mal ob ich im Netz was dazu finde. Ansonsten würde mich aber auch eine Alternativmöglichkeit interessieren so es denn eine gibt.
trotzdem erstmal Danke für den Zeig in die (hoffentlich) richtige Richtung.
Mfg
Grimfast
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 06.12.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Grimfast!
wenn 1 der Grenzwert ist:
[mm] \wurzel[n]{n}\to1\gdw|\wurzel[n]{n}-1|\to0
[/mm]
[mm] \to [/mm] Vorüberlegung:
[mm] |\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon\to\wurzel[n]{n}<1+\varepsilon\to n<[1+\varepsilon]^{n}
[/mm]
[mm] (1+\varepsilon)^{n}>1+n\varepsilon+\bruch{n(n-1)}{2}\varepsilon^{2}, \forall [/mm] n>2 (Binomischer Lehrsatz)
für hinreichend große n gilt nach Satz von Archimedes:
[mm] \bruch{n-1}{2}\varepsilon^{2}>1, \forall n>n_{0}
[/mm]
also
[mm] \bruch{n(n-1)}{2}\varepsilon^{2}>n, \forall n>n_{0}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] (1+\varepsilon)^{n}>\bruch{n(n-1)}{2}\varepsilon^{2}>n, \forall n>n_{0}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] 1+\varepsilon>\wurzel[n]{n}, \forall n>n_{0}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n}-1<\varepsilon, \forall n>n_{0}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1
[/mm]
MfG zwerg
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