limes, grenzwerte? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 07.04.2009 | | Autor: | pittster |
n'abend!
Ich lese mich gerade in das Thema Analysis ein und bin gleich auch eine Sache gestoßen, die mir nicht direkt einleuchtet:
"Eine Zahl $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] heißt Grenzwert (Limes) einer Folge [mm] $a_n$, [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon$ [/mm] > 0 eine Zahl [mm] $N_\epsilon \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \le N_\epsilon$"
[/mm]
Aber was hat nun dieses mysteriöse epsilon zu sagen? und was bitte ist N?
Eine andere erklärung las sich so, als wäre der Grenzwert so eine Art Supremum? Aber ich glaube, nach dieser Erklärung ist das wohl falsch, oder?
lg, Dennis
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Hallo Dennis,
> n'abend!
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> Ich lese mich gerade in das Thema Analysis ein und bin
> gleich auch eine Sache gestoßen, die mir nicht direkt
> einleuchtet:
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> "Eine Zahl [mm]a \in \mathbb{R}[/mm] heißt Grenzwert (Limes) einer
> Folge [mm]a_n[/mm], wenn es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 eine Zahl
> [mm]N_\epsilon \in \mathbb{N}[/mm] gibt, so dass [mm]|a_n - a| < \epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> für alle $n \red{\ge}} N_\epsilon$ " !!
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> Aber was hat nun dieses mysteriöse epsilon zu sagen? und
> was bitte ist N?
Ist dir klar, was $|a_n-a|$ geometrisch bedeutet?
Das ist der Abstand zwischen dem Folgenglied $a_n$ und dem Grenzwert a
Das beliebige (und damit beliebig kleine) $\varepsilon>0$ in Verbindung mit $|a_n-a|<\varepsilon$ bedeutet, dass die Folgenglieder "näher an a liegen als $\varepsilon$ ", dass sie also beliebig nahe an a "herankommen"
Bildlich denke dir einen Schlauch der Breite $2\varepsilon$ um den GW a ... (parallel zur x-Achse)
Diese Bedingung, also $|a_n-a|<\varepsilon$, gilt i.A. natürlich nicht für alle Folgenglieder, sondern (zumindest) für alle ab einem gewissen Folgenglied $a_N$ , dh. ab $a_N$ liegen alle weiteren Folgenglieder (also diejenigen, deren Index $n\ge N$ ist), also $a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}, ...$ in dieser $\varepsilon$-Umgebung (im Schlauch) um a
Was die Folgenglieder vor dem $a_N$, also $a_{N-1}, a_{N-2}, ..., a_1$ machen, interessiert nicht, davon können einige im Schlauch liegen, andere nicht oder auch keines - das ist dem GW egal
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> Eine andere erklärung las sich so, als wäre der Grenzwert
> so eine Art Supremum? Aber ich glaube, nach dieser
> Erklärung ist das wohl falsch, oder?
Wie lautet denn die Erklärung? Ein Supremum ist eigentlich "nur" eine obere Schranke ...
Was aber gilt, ist, dass der GW einer Folge ihr einziger Häufungswert ist.
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> lg, Dennis
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Gruß
schachuzipus
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