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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x}$ [/mm] |
Meine Lösung:
Da man weiß, dass $-1 [mm] \leq [/mm] cos(x) [mm] \leq [/mm] +1$ gilt, kann man sagen:
a) [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \leq [/mm] 0$
b) [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \geq \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \geq [/mm] 0$
Nun folgt aus a) und b): [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} [/mm] = 0$
Hier ist mir nur nicht ganz klar, warum nun aus a) und b) auf "=0" schließen darf... Könnt ihr mir das erklären? Weil: Im Fall a) ist ja quasi der limes kleinergleich 0, also ja von [mm] $-\infty$ [/mm] bis 0 und im Fall b) ist ja der limes größergleich 0, also ja von 0 [mm] $+\infty$. [/mm] Da verstehe ich nun nicht warum bei der Zusammenfassung von a) und b) man auf nur 0 kommt.
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Nun, setzen wir dafür einfach mal
$a := [mm] \lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} [/mm] $
Du hast nun gezeigt:
a) a [mm] $\leq$ [/mm] 0
b) a [mm] $\geq$ [/mm] 0
Nun muss das a - dein Limes (falls er denn existiert) - ja beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen; a kann ja nicht gleichzeitig zwei verschiedene Zahlen sein.^^
Das heißt du kannst beide Ungleichungen als eine schreiben:
$0 [mm] \leq [/mm] a [mm] \leq [/mm] 0$
Und die einzige Zahl, die zwischen 0 und 0 liegt, ist nunmal die 0 selber.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Kann man das ganze auch so aufzäumen:
Es gilt: $ -1 [mm] \leq [/mm] cos(x) [mm] \leq [/mm] +1 $
$ [mm] \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \leq \lim_{x \to \infty} \frac{cos(x^2)}{x} \leq [/mm] 0 $
Das entspricht doch nun eigentlich deinem $ 0 [mm] \leq [/mm] a [mm] \leq [/mm] 0 $, oder?
Was ich auch noch nicht ganz verstanden habe, ist: Oben schreibt man $ -1 [mm] \leq [/mm] cos(x) [mm] \leq [/mm] +1 $ und unten schreibt man dann [mm] $cos(x^2)$. [/mm] Woher weiß man, dass man das x einfach durch das [mm] x^2 [/mm] ersetzten darf? Was mir aber irgendwie schlüssig erscheint, ist, dass man -1 bzw. +1 mit dem gleichen Nenner versehen muss wie die Ausgangsfunktion, ich verstehe nur nicht warum man eben das [mm] x^2 [/mm] schreiben darf...
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den ersten Teil kannst du so aufziehen, ja
zu der zweiten Frage:
Du weißt, dass $-1 [mm] \leq [/mm] cos(x) [mm] \leq [/mm] 1$ für alle x gilt.
Dann gilt es natürlich auch für die x, die Quadratzahlen sind (ist ja nur ein Sonderfall, also eine Teilmenge von [mm] $\IR$).
[/mm]
Also gilt es für alle x dann gilt es natürlich auch für einige x.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke, Thema hat sich erledigt!
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