liminf und konvexität < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Di 30.04.2013 | | Autor: | physicus |
Hi zusammen
Ich habe eine konvexe Funktion $J$ sowie eine Folge von Z.V. [mm] $(X_n)$. [/mm] Daraus bilde ich Z.V. [mm] $Y_n\in \operatorname{conv}\{X_n,X_{n+1},\dots\}$. $Y_n$ [/mm] is also in der konvexen Hülle von [mm] $(X_k;k\ge [/mm] n)$. Dies bedeutet, dass [mm] $Y_n=\sum_{k=n}^\infty \lambda_k X_k$ [/mm] wobei [mm] $0\le\lambda_k\le [/mm] 1$, [mm] $\sum_{k\ge n}\lambda_k [/mm] = 1$ und nur endlich viele der [mm] $\lambda_k$'s [/mm] sind ungleich null.
Nun soll folgende Ungleichung aufgrund der Konvexität von $J$ folgen. Wieso?
[mm] $\limE[J(X_n)]\ge \lim\inf_nE[J(Y_n)]$
[/mm]
Wieso gilt dies? Stimmt meine Argumentation:
[mm] $\lim\inf_nE[J(Y_n)]\le\lim E[J(Y_n)]=\lim_n E[J(\sum_{k\ge n}\lambda_k X_k)]\le \lim_n \sum_{k\ge n}\lambda_k E[J(X_n)]\le \lim_nE[J(X_n)]$
[/mm]
da ich jedes [mm] $\lambda_k$ [/mm] mit $1$ abschätzen kann. stimmt dies?
Gruss
physicus
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Hiho,
> Nun soll folgende Ungleichung aufgrund der Konvexität von [mm]J[/mm] folgen. Wieso?
> [mm]\lim E[J(X_n)]\ge \lim\inf_nE[J(Y_n)][/mm]
Also erstmal: Der Ausdruck links muss gar nicht existieren, d.h. ohne Zusatzannahmen macht das Objekt auf der linken Seite gar keinen Sinn. Der Ausdruck rechts hingegen existiert immer.
Bist du sicher, dass links wirklich [mm] \lim [/mm] und nicht ebenfalls [mm] \liminf [/mm] steht?
> Wieso gilt dies? Stimmt meine Argumentation:
>
> [mm]\lim\inf_nE[J(Y_n)]\le\lim E[J(Y_n)]=\lim_n E[J(\sum_{k\ge n}\lambda_k X_k)]\le \lim_n \sum_{k\ge n}\lambda_k E[J(X_n)]\le \lim_nE[J(X_n)][/mm]
Das erste Ungleichheitszeichen ist wie gesagt nicht begründet. Wenn des [mm] \lim [/mm] existiert gilt im Übrigen sogar "=".
Beim zweiten [mm] \le [/mm] von dir fehlt eine Begründung, warum du die Summe aus dem Erwartungswert herausziehen kannst. So einfach geht das leider nicht.
Das letzte Gleichheitszeichen stimmt auch nicht, wenn du alle [mm] \labda_k [/mm] mit 1 abschätzt, steht da [mm] $\summe_{k\ge n} E\left[J(X_k)\right]$ [/mm] und NICHT [mm] $E\left[J(X_n)\right]$
[/mm]
Beantworte erstmal die offenen Fragen, dann sehen wir weiter.
MFG,
Gono.
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Hallo gono
danke für deine Hilfe. Bitte beachte die Definition von [mm] $Y_n$. [/mm] Nur endlich viele [mm] $\lambda_k$'s [/mm] sind ungleich Null. Daher kann ich Summe und Erwartungswert vertauschen. Ich habe aber einen anderen Fehler. Eigentlich habe ich eine Folge von konvexen Funktionen [mm] $J^n$, [/mm] wachsend in $n$ gegen eine konvexe Funktion $J$. In einem Beweis steht:
[mm] $\lim_n E[J^n(X_n)]\ge \lim\inf_n E[J^n(Y_n)]$
[/mm]
wobei man annehmen kann, dass die linke Seite existiert. Als Argument, wieso diese Ungleichung gilt, wird gesagt, dass [mm] $J^n$ [/mm] konvex ist. Wieso folgt dies aus der Konvexität?
Danke und Gruss
physicus
ps: du findest das ganze in einem paper ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 917 mit leicht anderer Notation, i.e. [mm] $J^n=V^n$, $h^n=X_n$ [/mm] und [mm] $f_n=Y_n$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 31.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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