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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 13.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Aufgrund der vielen unterschiedlichen Definitionen von limsup und liminf komme ich ganz durcheinander... Ich habe hier nun in einem Buch folgende Definition stehen:
Ist [mm] (A_n)_{n\ge 1} [/mm] eine Folge von Teilmengen von X, so heißen [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n:=\{x\in X: x\in A_n\; fuer\; unendlich\; viele\; n\in \IN\}
[/mm]
der Limes superior und
[mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n:=\{x\in X: Es\; gibt\; ein\; n_0(x)\in \IN, so\; dass\; x\in A_n für\; alle\; n\ge n_0(x)\} [/mm]
der Limes inferior der Folge [mm] (A_n)_{n\ge 1}.
[/mm]
Nun würde ich die erste Definition so verstehen, dass limsup alle Elemente aus x sind, die in jeder der vielen [mm] A_n's [/mm] enthalten ist. Stimmt das? Und wie versteht man dann den liminf?
Dann "gilt offenbar" (laut Buch):
[mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n= \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty}A_k
[/mm]
Den rechten Teil würde ich jetzt so verstehen: für n=1 vereinige ich alle [mm] A_k's, [/mm] für n=2 nur noch alle ab k=2, usw. und diese alle schneide ich dann. Da würde doch aber theoretisch für [mm] n=\infty [/mm] nur noch [mm] A_{\infty} [/mm] als Vereinigung bleiben, und der Schnitt über alle diese Mengen kann doch dann auch nur noch [mm] A_{\infty} [/mm] sein, oder?
Ich fürchte, ich habe hier irgendwo einen Denkfehler. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich habe es jedenfalls auch mal ausprobiert mit drei Mengen statt unendlich vielen. Da hätte ich doch dann: [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow 3}}A_n=(A_1\cup A_2\cup A_3)\cap(A_2\cup A_3)\cap(A_3)=A_3
[/mm]
Stimmt das denn so? Oder wo liegt der Fehler? Irgendwie finde ich, macht das so keinen Sinn...
Kann mir das mal jemand erklären?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane!
Beginnen wir vielleicht mit einem kleinen Beispiel zum besseren Verständnis.
Sei X={1,2} und [mm] A_n=\{1\} [/mm] für n gerade und [mm] A_n=\{1,2\} [/mm] für n ungerade.
Bestimmen wir nun limsup und liminf dieser Folge von Mengen:
limsup [mm] A_n [/mm] = [mm] \{x \in X | x \in A_n \mbox{für unendlich viele n} \}
[/mm]
Für x=1 trifft das zu, da es sogar in allen Mengen vorkommt.
Für x=2 trifft das zu, da es in den unendlich vielen Mengen mit ungeradem Index vorkommt.
Also gilt: limsup [mm] A_n [/mm] = [mm] \{1,2\}
[/mm]
liminf [mm] A_n [/mm] = [mm] \{x \in X | \exists n_0 \mbox{so, daß} \forall n \ge n_0 \mbox{gilt:} x \in A_n \}
[/mm]
Für x=1 geht das daneben, da es zwar in jeder Menge mit ungeradem Index vorkommt, nicht aber in der unmittelbar darauf folgenden.
Für x=2 geht das gut. Man kann etwa [mm] n_0=0 [/mm] wählen.
Die Definitionen mit "liegt in unendlich vielen [mm] A_n", [/mm] "liegt in fast allen [mm] A_n" [/mm] (d.h. in allem mit Ausnahme von endlich vielen) sind leider die griffigsten Definitionen, die man für limsup resp. liminf zur Verfügung hat.
Nun zu Handfesterem. Wieso lassen sich limsup und liminf als Durchschnitte und Vereinigungen schreiben?
x [mm] \in [/mm] limsup [mm] A_n [/mm] <=>
x [mm] \in A_n [/mm] für unendlich viele n <=>
[mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] gilt: x [mm] \in \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n [/mm] =: [mm] B_m [/mm] <=> (Da x in unendlich vielen [mm] A_n [/mm] liegt, muß es auch zu jedem m [mm] \in \IN [/mm] ein größeres n geben mit x [mm] \in A_n. [/mm] Damit liegt es in dieser Vereinigung)
x [mm] \in \bigcap_{m=0}^{\infty} B_m [/mm] = [mm] \bigcap_{m=0}^{\infty} \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n
[/mm]
x [mm] \in [/mm] liminf [mm] A_n [/mm] <=>
[mm] \exists n_0 [/mm] so, daß [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt: x [mm] \in A_n [/mm] <=>
[mm] \exists n_0 [/mm] so, daß [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge n_0 [/mm] gilt: x [mm] \in \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n [/mm] <=> (Es gibt ein [mm] n_0 [/mm] so, daß x in allen [mm] A_n [/mm] mit größerem Index liegt. Dann liegt es auch im Schnitt über alle Mengen mit größerem Index.)
x [mm] \in \bigcup_{m=0}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n
[/mm]
Ich hoffe, damit ist Dir geholfen.
Liebe Grüße
holy_diver_80
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo holy_diver_80!
Erstmal danke für deine Antwort - das Beispiel hat schon mal sehr geholfen. 
> Sei X={1,2} und [mm]A_n=\{1\}[/mm] für n gerade und [mm]A_n=\{1,2\}[/mm] für
> n ungerade.
> Bestimmen wir nun limsup und liminf dieser Folge von
> Mengen:
>
> limsup [mm]A_n[/mm] = [mm]\{x \in X | x \in A_n \mbox{für unendlich viele n} \}
[/mm]
>
> Für x=1 trifft das zu, da es sogar in allen Mengen
> vorkommt.
> Für x=2 trifft das zu, da es in den unendlich vielen
> Mengen mit ungeradem Index vorkommt.
> Also gilt: limsup [mm]A_n[/mm] = [mm][mm] \{1,2\}
[/mm]
D. h. wir haben es in diesem Fall mit einer Menge als limsup zu tun, oder?
> liminf [mm]A_n[/mm] = [mm]\{x \in X | \exists n_0 \mbox{so, daß} \forall n \ge n_0 \mbox{gilt:} x \in A_n \}
[/mm]
>
> Für x=1 geht das daneben, da es zwar in jeder Menge mit
> ungeradem Index vorkommt, nicht aber in der unmittelbar
> darauf folgenden.
> Für x=2 geht das gut. Man kann etwa [mm]n_0=0[/mm] wählen.
Das verstehe ich allerdings nicht! Kann das sein, dass du 1 und 2 vertauscht hast? Jedenfalls kommt doch die 1 in jeder Menge vor, nicht nur in den mit ungeradem Index, aber die 2 nur in denen mit ungeradem Index.
Und ist es richtig, dass die Definition folgendes besagt:
liminf sind alle x, die ab einem gewissen Folgenglied in allen folgenden Folgenglieder liegen!?
> Nun zu Handfesterem. Wieso lassen sich limsup und liminf
> als Durchschnitte und Vereinigungen schreiben?
>
> x [mm]\in[/mm] limsup [mm]A_n[/mm] <=>
> x [mm]\in A_n[/mm] für unendlich viele n <=>
> [mm]\forall[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] gilt: x [mm]\in \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n[/mm]
> =: [mm]B_m[/mm]
Das verstehe ich leider auch nicht... Wo kommt denn das m her und wofür wird es benötigt?
> <=> (Da x in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] liegt, muß es auch
> zu jedem m [mm]\in \IN[/mm] ein größeres n geben mit x [mm]\in A_n.[/mm]
> Damit liegt es in dieser Vereinigung)
> x [mm]\in \bigcap_{m=0}^{\infty} B_m[/mm] = [mm][mm] \bigcap_{m=0}^{\infty} \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n
[/mm]
Und gehört die Erklärung in der Klammer wirklich erst zu diesem Teil hier oder doch schon zu dem davor?
> x [mm]\in[/mm] liminf [mm]A_n[/mm] <=>
> [mm]\exists n_0[/mm] so, daß [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] gilt: x [mm]\in A_n[/mm]
> <=>
> [mm]\exists n_0[/mm] so, daß [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge n_0[/mm] gilt: x [mm]\in \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n[/mm]
> <=> (Es gibt ein [mm]n_0[/mm] so, daß x in allen [mm]A_n[/mm] mit größerem
> Index liegt. Dann liegt es auch im Schnitt über alle Mengen
> mit größerem Index.)
> x [mm][mm] \in \bigcup_{m=0}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n
[/mm]
Ich schätze, hier ist es mit dem m so ähnlich wie bei limsup...
Könntest du dir evtl. nochmal mein Beispiel angucken? Und sagen, was daran falsch ist oder vielleicht für diese Sachen hier noch ein Beispiel angeben?
Sorry, dass ich so blöde nachfrage. Irgendwie liegt mir das nicht ganz so mit den Folgen und Vereinigungen bis [mm] \infty [/mm] und so...
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Sei X={1,2} und [mm]A_n=\{1\}[/mm] für n gerade und [mm]A_n=\{1,2\}[/mm]
> für
> > n ungerade.
> > Bestimmen wir nun limsup und liminf dieser Folge von
>
> > Mengen:
> >
> > limsup [mm]A_n[/mm] = [mm]\{x \in X | x \in A_n \mbox{für unendlich viele n} \}
[/mm]
>
> >
> > Für x=1 trifft das zu, da es sogar in allen Mengen
> > vorkommt.
> > Für x=2 trifft das zu, da es in den unendlich vielen
>
> > Mengen mit ungeradem Index vorkommt.
> > Also gilt: limsup [mm]A_n[/mm] = [mm]\{1,2\}[/mm]
> D. h. wir haben es in diesem Fall mit einer Menge als limsup zu tun, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> liminf [mm]A_n[/mm] = [mm]\{x \in X | \exists n_0 \mbox{so, daß} \forall n \ge n_0 \mbox{gilt:} x \in A_n \}[/mm]
> Für x=1 geht das daneben, da es zwar in jeder Menge mit
> ungeradem Index vorkommt, nicht aber in der unmittelbar
> darauf folgenden.
> Für x=2 geht das gut. Man kann etwa [mm]n_0=0[/mm] wählen.
> Das verstehe ich allerdings nicht! Kann das sein, dass du 1 und 2 vertauscht hast? Jedenfalls
> kommt doch die 1 in jeder Menge vor, nicht nur in den mit ungeradem Index, aber die 2 nur in
> denen mit ungeradem Index.
Ja, da hat er sich vertan. Aber das Prinzip sollte klar sein. War nur ein Flüchtigkeits-/Schreibfehler.
> Und ist es richtig, dass die Definition folgendes besagt:
> liminf sind alle x, die ab einem gewissen Folgenglied in allen folgenden Folgenglieder liegen!?
> Nun zu Handfesterem. Wieso lassen sich limsup und liminf
> als Durchschnitte und Vereinigungen schreiben?
>
> x [mm]\in[/mm] limsup [mm]A_n[/mm] <=>
> x [mm]\in A_n[/mm] für unendlich viele n <=>
> [mm]\forall[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] gilt: x [mm]\in \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n[/mm]
> =: [mm]B_m[/mm]
> Das verstehe ich leider auch nicht... Wo kommt denn das m her und wofür wird es benötigt?
Die Erklärung wird danach geliefert: Für alle $m$ muss es eben ein $n [mm] \ge [/mm] m$ geben, so dass $x [mm] \in A_n$.
[/mm]
> <=> (Da x in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] liegt, muß es auch
> zu jedem m [mm]\in \IN[/mm] ein größeres n geben mit x [mm]\in A_n.[/mm]
> Damit liegt es in dieser Vereinigung)
> x [mm]\in \bigcap_{m=0}^{\infty} B_m[/mm] = [mm][mm]\bigcap_{m=0}^{\infty} \bigcup_{n = m}^{\infty} A_n
[/mm]
> Und gehört die Erklärung in der Klammer wirklich erst zu diesem Teil hier oder doch schon zu dem davor?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]> x [mm]\in[/mm] liminf [mm]A_n[/mm] <=>[/mm][/mm]
> [mm][mm] > [mm]\exists n_0[/mm] so, daß [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] gilt: x [mm]\in A_n[/mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]> <=>[/mm][/mm]
> [mm][mm] > [mm]\exists n_0[/mm] so, daß [mm]\forall[/mm] m [mm]\ge n_0[/mm] gilt: x [mm]\in \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n[/mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]> <=> (Es gibt ein [mm]n_0[/mm] so, daß x in allen [mm]A_n[/mm] mit größerem [/mm][/mm]
> [mm][mm]> Index liegt. Dann liegt es auch im Schnitt über alle Mengen [/mm][/mm]
> [mm][mm]> mit größerem Index.)[/mm][/mm]
> [mm][mm] > x [mm][mm]\in \bigcup_{m=0}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n
[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Ich schätze, hier ist es mit dem m so ähnlich wie bei limsup...[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Könntest du dir evtl. nochmal mein Beispiel angucken? Und sagen, was daran falsch ist oder vielleicht für diese Sachen hier noch ein Beispiel angeben?[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Sorry, dass ich so blöde nachfrage. Irgendwie liegt mir das nicht ganz so mit den Folgen und Vereinigungen bis [mm]\infty[/mm] und so...[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]Viele Grüße[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Bastiane[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [cap][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
Dein Problem ist, dass du bei deinem Beispiel mit endlich vielen Mengen rechnest. Da machen die Definitionen aber keinen Sinn. Die Menge [mm] $A_{\infty}$ [/mm] gibt es nicht, daher macht auch diese Frage keinen Sinn. Verstehst du: Hier ist es wieder die Unendlichkeit der Mengenfolge, die man sich vergegenwärtigen muss.
Lies am besten immer jedes Vereinigungszeichen als ein "es gibt ein... so dass" und jedes Durchschnittszeichen also ein "für alle... gilt". Damit kommt man immer sehr gut zurecht!
[mm] $\bigcap_{n =1}^{\infty} \bigcup_{m \ge n} A_n$:
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge [/mm] 1$ gibt es ein $m [mm] \ge [/mm] n$ mit $x [mm] \in A_m$.
[/mm]
Aha, also Limes Superior! $x$ liegt in unendlich vielen Mengen der Folge!
Oder: [mm] $\bigcup_{n =1}^{\infty} \bigcap_{m \ge n} A_n$.
[/mm]
Es gibt eine $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $m\ge [/mm] n$ gilt: $x [mm] \in A_m$.
[/mm]
Aha, also Limes Inferior! $x$ liegt in fast allen Mengen der Folge!
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
diese Definition finde ich auch sehr verwirrend. Demzufolge ist der Limes Superior ja eine Menge. Der Limes Superior - wenn er denn existiert - ist aber eine reelle/komplexe Zahl, aber keinenfalls eine Menge.
Wir haben den Limes Sup wie folgt definiert:
[mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n := \limes_{n\rightarrow\infty}( sup\{a_k | k \le n\})[/mm]
Der Limes Superior ist also der Grenzwert der Folge [mm](sup\{a_k | k \le n\})_n[/mm]
Nehmen wir die Folge [mm]a_n := (-1)^n (2 - \frac{1}{n})[/mm]
Definieren wir [mm]b_n := sup\{a_k | k \le n\}[/mm] dann ist der Limes Superior von [mm]a_n[/mm] gleich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
Schauen wir uns erstmal die ersten drei Folgenglieder an:
[mm]b_1 = sup\{a_1, a_2, a_3, \ldots\}[/mm]
[mm]b_2 = sup\{a_2, a_3, a_4, \ldots\}[/mm]
[mm]b_3 = sup\{a_3, a_4, a_5, \ldots\}[/mm]
Weil gilt: [mm]|a_n| = 2 - \frac{1}{n} \le 2 - \frac{1}{n+1} = |a_{n+1}|[/mm] muss gelten:
[mm]b_n \le b_{n+1}[/mm]
Da aber [mm]a_n[/mm] durch 2 beschränkt ist (wichtig: sonst ist der Limes Superior unendlich), gilt:
[mm]b_n \le 2[/mm]
Für [mm]n \to \infty[/mm] folgt also, dass [mm]b_n \to 2[/mm]
Deshalb ist der Limes Superior 2:
[mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n = 2[/mm]
Mir hat zum Verständnis aber eine anderes Lemma geholfen:
Der Limes Superior ist auch gleich dem größten Häufungswert einer Folge.
[mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}A_n = max\{h |[/mm] h ist Häufungswert von [mm]a_n\}[/mm]
h ist ein Häufungswert einer Folge, wenn eine Teilfolge exisiert, die gegen h konvergiert. Man bildet also alle konvergenten Teilfolgen, schmeisst die Grenzwerte dieser in einen Topf und nimmt den größten heraus. Das ist dann der Limes superior.
Offensichtlich ist [mm](a_2n)_n[/mm] eine solche Teilfolge und diese Teilfolge konvergiert gegen 2. Da es keine andere Teilfolge mit einem größeren Grenzwert gibt, ist 2 der Limes Superior der Folge [mm]a_n[/mm].
Diese Definition ist etwas anschaulicher und hilft dabei, wenn man schnell den Limes Superior bestimmen muss.
Übrigens: Wenn eine Folge [mm]a_n[/mm] konvergiert, dann ist der Limes Superior gleich dem normalen Limes der Folge.
hoffe, das hat dir etwas geholfen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Mich wundert es, dass dich das wundert, dass der Limes Superior von Mengen wieder eine Menge ist, denn ich hatte es dir doch vor kurzem schon einmal hier (wenn auch für den Limes Inferior) erklärt.
Hattest du meine Bemerkungen also doch nicht verstanden? Dann gibt es nur eines: Immer wieder nachfragen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Mich wundert es, dass dich das wundert, dass der Limes
> Superior von Mengen wieder eine Menge ist, denn ich hatte
> es dir doch vor kurzem schon einmal
> hier (wenn auch für
> den Limes Inferior) erklärt.
Stimmt - das hatte ich glatt vergessen. Aber da wusste ich, als ich die Frage gestellt hatte, gar nicht, dass es etwas damit zu tun hat - ich war da eher auf die [mm] \sigma [/mm] -Algebren fixiert, da wollte ich mich nicht mit dem liminf beschäftigen...
> Hattest du meine Bemerkungen also doch nicht verstanden?
> Dann gibt es nur eines: Immer wieder nachfragen...
Das ist manchmal so eine Sache mit dem Verstehen - oft denke ich, ich habe es verstanden, aber anscheinend habe ich das dann doch nicht immer. Und das fällt mir dann erst später auf, wenn so was ähnliches dann wieder dran kommt...
Viele Grüße
Christiane
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
von Julius erklärt.
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
