limxn ex < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | [mm] b_{n} [/mm] Folge in [mm] \IC, \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] durch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] - [mm] b_{n+1} [/mm] gegeben [mm] (n\in\IN.
[/mm]
Zz: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] lim [mm] b_{n} [/mm] existiert.
und im Konverg.-fall: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] - lim [mm] b_{n}. [/mm] |
Hi an alle!
Komme hier nicht recht weiter.
Soll eben zeigen, dass die Reihe konvergiert, wenn ein lim der Folge [mm] b_{n} [/mm] existiert. Nur wie?
[mm] "\Rightarrow" \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] konv. [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] --> 0, dieses [mm] a_{n} [/mm] ist von der Bauart: [mm] b_{n} [/mm] - [mm] b_{n+1} [/mm] ...?
[mm] "\Leftarrow" [/mm] lim [mm] b_{n} [/mm] ex [mm] \Rightarrow b_{n} [/mm] konvergiert ...?
Sollen das ganze dann anwenden, um zu zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (1/(4n^2-1) [/mm] = 1/2
Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen?
Würde mich freuen!
Lg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]b_{n}[/mm] Folge in [mm]\IC, \summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] durch [mm]a_{n}[/mm]
> = [mm]b_{n}[/mm] - [mm]b_{n+1}[/mm] gegeben [mm](n\in\IN.[/mm]
> Zz: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\gdw[/mm] lim [mm]b_{n}[/mm]
> existiert.
> und im Konverg.-fall: [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] = [mm]b_{n}[/mm] -
> lim [mm]b_{n}.[/mm]
Hier muß es wohl
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] - lim [mm]b_{n}.[/mm]
lauten
> Hi an alle!
>
> Komme hier nicht recht weiter.
> Soll eben zeigen, dass die Reihe konvergiert, wenn ein lim
> der Folge [mm]b_{n}[/mm] existiert. Nur wie?
> [mm]"\Rightarrow" \summe_{i=1}^{\infty}[/mm] konv. [mm]\Rightarrow a_{n}[/mm]
> --> 0, dieses [mm]a_{n}[/mm] ist von der Bauart: [mm]b_{n}[/mm] - [mm]b_{n+1}[/mm]
> ...?
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] lim [mm]b_{n}[/mm] ex [mm]\Rightarrow b_{n}[/mm] konvergiert
> ...?
>
> Sollen das ganze dann anwenden, um zu zeigen, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (1/(4n^2-1)[/mm] = 1/2
>
> Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen?
> Würde mich freuen!
> Lg Sr
Hier ist es am einfachsten, wenn Du auf die Def. der Konvergenz einer unendlichen Reihe zurückgehst:
Sei [mm] $S_n [/mm] = [mm] a_1+a_2+ [/mm] ... [mm] +a_n$
[/mm]
Überzeuge Dich davon, dass
(*) [mm] $S_n [/mm] = [mm] b_1-b_{n+1}$
[/mm]
ist.
Dann: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw (S_n) [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] ...... jetzt Du
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Hier muß es wohl
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] - lim [mm]b_{n}.[/mm]
>
> lauten
ja stimmt!
> Hier ist es am einfachsten, wenn Du auf die Def. der
> Konvergenz einer unendlichen Reihe zurückgehst:
>
> Sei [mm]S_n = a_1+a_2+ ... +a_n[/mm]
>
> Überzeuge Dich davon, dass
>
> (*) [mm]S_n = b_1-b_{n+1}[/mm]
>
> ist.
ok, das ist weil sich hier eine telescope Reihe ergibt und ich immer wegkürzen kann:
[mm] Sn=b_{1}-b_{2}+b_{2}-b_{3}+...+b_{n}-b_{n+1}=b_1-b_{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konv [mm] \gdw [/mm] (Sn) konvergent [mm] \gdw [/mm] Sn beschränkt und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] = supSn ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hier muß es wohl
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] - lim [mm]b_{n}.[/mm]
> >
> > lauten
>
> ja stimmt!
>
> > Hier ist es am einfachsten, wenn Du auf die Def. der
> > Konvergenz einer unendlichen Reihe zurückgehst:
> >
> > Sei [mm]S_n = a_1+a_2+ ... +a_n[/mm]
> >
> > Überzeuge Dich davon, dass
> >
> > (*) [mm]S_n = b_1-b_{n+1}[/mm]
> >
> > ist.
>
> ok, das ist weil sich hier eine telescope Reihe ergibt und
> ich immer wegkürzen kann:
> [mm]Sn=b_{1}-b_{2}+b_{2}-b_{3}+...+b_{n}-b_{n+1}=b_1-b_{n+1}[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] konv [mm]\gdw[/mm] (Sn) konvergent [mm]\gdw[/mm]
> Sn beschränkt und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] = supSn ?
Oh Mann, ich hab Dir doch eine Steilvorlage gegeben !
Aus (*) folgt:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{n}[/mm] konv [mm]\gdw[/mm] [mm] (S_n) [/mm] konvergent [mm]\gdw[/mm] [mm] (b_n) [/mm] konvergiert
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
oh tut mir leid, steh heute ziehmlich auf der Leitung.
Also damit wär ich dann fertig, oda?
Und wegen dem beispiel versteh ichs auch noch nicht ganz:
lt. vorher gilt ja:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] = [mm] b_{n}-lim b_{n} [/mm]
[mm] 1/(4n^2-1) [/mm] konv ja gegen 0, also
1/(4*1-1) - 0 = 1/3 ?
sollte aber 1/2 rauskommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_n [/mm] = $ [mm] 1/(4n^2-1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n-1)(2n+1)}= \bruch{1}{2}* \bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2}* \bruch{1}{2n+1}$
[/mm]
Wie sieht nun wohl [mm] b_n [/mm] aus ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]1/(4n^2-1) = \bruch{1}{(2n-1)(2n+1)}= \bruch{1}{2}* \bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2}* \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Wie sieht nun wohl [mm]b_n[/mm] aus ??
>
> FRED
[mm] b_{n} [/mm] = 1/2 * 1/(2n-1)
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} a_{n}= b_{1}-lim b_{n} [/mm] = 1/2*1 - 0 = 1/2
richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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