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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 31.01.2006 | | Autor: | s222 |
| Aufgabe | | V ist n- dimensionaler Vektorraum. Es gibt genau dann eine lineare Abbildung f: V [mm] \toV [/mm] mit ker f = im f, wenn n gerade ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das soll ich zeigen...
Ich kann zeigen dass ker f nur = im f sein kann, wenn n gerade ist.
dim V = dim ker f + rg f, also auch dim ker f + dim im f
wenn ker f und im f gleich wären, hätten sie doch auch die gleiche Dimension und dann wäre x+x=2x und somit auf jeden Fall gerade.
Aber die Aufgabenstellung möchte das ja genau andersherum...
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Hallo und einen guten Abend,
also sei V n-dimensionaler Vektorraum, und sei [mm] f\colon V\to [/mm] V mit
ker f = im f.
Es ist dim (V) = dim (ker f) + dim (im f) = [mm] 2\cdot [/mm] dim (ker f), was zeigt, dass n gerade ist.
Wenn andererseits n gerade ist, so waehlen wir eine Basis [mm] e_1,\ldots e_{2m} [/mm]
mit [mm] 2\cdot [/mm] m = n und definieren eine lineare Abbildung [mm] f\colon V\to [/mm] V vermöge
[mm] f(e_{m+j}) [/mm] = [mm] e_j [/mm] , [mm] j=1,\ldots [/mm] m
und
[mm] f(e_j)=0 [/mm] fuer [mm] j=1,\ldots [/mm] m
und dieses f erfuellt die gewuenschte Eigenschaft:
kern f = im f = der von den Vektoren [mm] e_1,\ldots e_m [/mm] erzeugte Unterraum.
Gruss,
Mathias
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