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| Aufgabe 1 | Hi, hier meine Aufgaben:
Sei [mm] F_A: \IR^3 \to \IR^4 [/mm] durch die folgende Matrix geg.:
[mm] A=\pmat{1&2&1\\3&5&\alpha\\0&1&5\\1&3&6}
[/mm]
Dabei sei [mm] \alpha \in \IR [/mm] beliebig aber fest.
Bestimmen Sie nun eine Basis vom [mm] Kern(F_A) [/mm] und [mm] Bild(F_A) [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Hier nun meine 2. Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet:
Untersuche, ob es in den folgenden Situationen eine lineare Abbildung [mm] F:\IR^4\to\IR^3 [/mm] mit der Eigenschaft [mm] F(v_i)=w_i (\forall [/mm] i)
und untersuchen Sie ferner, ob F ggf. eindeutig bestimmt ist.
a)
[mm] v_1=\vektor{1\\2\\1\\1}, v_2=\vektor{3\\0\\1\\-1} [/mm]
und [mm] w_1=\vektor{1\\2\\3}, w_2=\vektor{1\\0\\1} [/mm] |
Bei der 1. Aufgabe denke ich, dass ich den [mm] Kern(F_A) [/mm] bestimmt habe.
Denn da muss ich ja lediglich ein homogenes LGS erstellen und dieses lösen.
Richtig?
Jedoch weiß ich leider nicht, was ich beim [mm] Bild(F_A) [/mm] machen muss?
Bei der 2. Aufgabe verstehe ich irgendwie überhaupt nichts....
Da habe ich leider nicht einmal einen Ansatz, weil ich auch nicht so recht verstehe worum es da geht...??
Bin da wirklich für jede Hilfe dankbar. Danke!!
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Hiho,
das Bild einer linearen Abbildung ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren (warum?).
Zur zweiten Aufgabe: Du sollst schauen, ob es eine lineare Abbildung F gibt, so dass
[mm] $F(v_1) [/mm] = [mm] w_1$ [/mm] UND [mm] $F(v_2) [/mm] = [mm] w_2$ [/mm] gilt.
Wenn du eine solche gefunden hast, noch zusätzlich: Ist diese Abbildung F eindeutig oder gibt es noch weitere?
MFG,
Gono.
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Ja, soweit war ich selber eigentlich auch schon. Mein Problem ist aber:
Wie soll denn [mm] F(v_i)=w_i [/mm] sein?
Also mal als Bsp.:
[mm] F(v_1)=F(\vektor{1\\2\\1\\1})=\vektor{1\\2\\3}=w_i
[/mm]
Wie prüf ich denn, ob die Abbildung des eines Vektors den anderen Vektor ergibt? Mich irritiert außerdem, dass ich von 4 Tupel auf 3 kommen muss....
Ich habe noch mehr solcher Aufgaben, aber ich denke, ich bräuchte ein Beispiel um das zu verstehen....
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> Ja, soweit war ich selber eigentlich auch schon. Mein
> Problem ist aber:
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> Wie soll denn [mm]F(v_i)=w_i[/mm] sein?
>
> Also mal als Bsp.:
>
> [mm]F(v_1)=F(\vektor{1\\2\\1\\1})=\vektor{1\\2\\3}=w_i[/mm]
>
> Wie prüf ich denn, ob die Abbildung des eines Vektors den
> anderen Vektor ergibt?
Hallo,
Du prüfst es gar nicht. Du definierst es einfach:
[mm] F(v_1):=w_1 [/mm] und [mm] F(v_2)=w_2 [/mm] .
Die Frage, die Du nun beantworten sollst, ist, ob es eine lineare Funktion F gibt, die bei [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] eben diese Funktionswerte [mm] w_1 [/mm] bzw. [mm] w_2 [/mm] hat.
Dazu war gewiß etwas in der Vorlesung dran, so oder ähnlich:
Seien V, W Vektorräume, [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] eine Basis von V und [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] eine Familie von Vektoren aus W, und
f: [mm] B\to [/mm] W mit [mm] f(b_i):=w_i.
[/mm]
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung [mm] F:V\to [/mm] W mit [mm] F(b_i)=f(b_i),
[/mm]
man kann f also eindeutig zu einer linearen Abbildung F fortsetzen.
("Jede lineare Abbildung ist durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.")
Dieser Satz garantiert Dir, daß die Sache funktioniert.
> Mich irritiert außerdem, dass ich
> von 4 Tupel auf 3 kommen muss....
Das ist doch nichts Schlimmes, es handelt sich halt um eine Abbildung aus dem [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^3.
[/mm]
Jetzt mal konkret:
ergänze [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4, [/mm] weise den ergänzenden Vektoren irgendwelche Funktionswerte zu, z.B. den Nullvektor.
Die Abbildung F: [mm] V\to [/mm] W mit
F( [mm] a_1v_1+...+a_4v_4):=a_1w_1+...+a_4w_4 [/mm] ist dann eine lineare Abbildung, was Du vorrechnen kannst.
Daß sie nicht eindeutig ist, zeigst Du, indem Du eine weitere Abbildung aufstellst, bei welcher den Ergänzungsvektoren andere Funktionswerte zugewiesen werden.
Auch von dieser kannst Du vorrechnen, daß sie sich zu einer linearen Abbildung fortsetzen läßt.
Gruß v. Angela
> Ich habe noch mehr solcher Aufgaben, aber ich denke, ich
> bräuchte ein Beispiel um das zu verstehen....
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wie kann ich den vektoren irgendwelche funktionswerte zuweisen?
meinst du, dass dass ich die vektoren mit einem skalar multipliziere?
kannst du mir das vielleicht anhand eines beispiels zeigen, wie du die aufgabe löst. du kannst ruhig andere vektoren benutzen, sodass du die aufgabe nicht für mich löst.
tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle, aber irgendwie steh ich voll auf dem schlauch.... :-((
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Hallo,
ich hatte Dir ja eine recht genaue Betriebsanweisung geschrieben.
Hast Du [mm] v_1, v_2 [/mm] denn jetzt zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt? Wie?
> wie kann ich den vektoren irgendwelche funktionswerte
> zuweisen?
So:
[mm] F(v_1):=w_1
[/mm]
[mm] F(v_2):=w_2
[/mm]
[mm] F(v_3):= [/mm] ... irgendein Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] wird Dir doch einfallen. (?) Ich hatte ja sogar schon 'nen Vorschlag gemacht
[mm] F(v_4):= [/mm] ...
Du weißt nun, daß es für jedes [mm] v\in \IR^4 [/mm] passende [mm] a_i [/mm] gibt mit [mm] v=\summe a_iv_i.
[/mm]
Jetzt behaupte ich:
[mm] F:\IR^4 \to \IR^3 [/mm] mit
F( $ [mm] a_1v_1+...+a_4v_4):=a_1w_1+...+a_4w_4 [/mm] $
ist eine lineare Abbildung (vorrechnen!), für welche [mm] F(v_1)=w_1 [/mm] und [mm] F(v_2)=w_2 [/mm] gilt.
Damit ist dann die Existenz einer linearen Abbildung mit der geforderten Eigenschaft gezeigt.
Daß die Abbildung nicht eindeutig ist, zeigst Du - so wie ich es in meiner vorhergehenden Antwort gesagt habe.
> kannst du mir das vielleicht anhand eines beispiels zeigen,
> wie du die aufgabe löst. du kannst ruhig andere vektoren
> benutzen, sodass du die aufgabe nicht für mich löst.
Ich hab' Dir jetzt an diesem Beispiel genau gesagt, was zu tun ist.
Das Tippen der Spaltenvektoren und den Nachweis der Linearität möchte ich Dir überlassen, schaue mir jedoch morgen gern an, was Du gemacht hast.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Also, ich habs nun nochmal versucht.
Die gegeben Vektoren habe ich ja schon beim 1. Mal gepostet.
Ich ergänze die 2 Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] zu einer Basis. Da eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] immer aus 4 Vektoren besteht, fehlen also noch 2. (basisergänzungssatz)
Ich wähle einen weiteren beliebigen Vektor [mm] v_3=\vektor{0\\1\\-1\\1}.
[/mm]
Dazu noch [mm] v_4 [/mm] als Nullvektor, also [mm] v_4=\vektor{0\\0\\0\\0}, [/mm] denn die Abbildung soll ja vom [mm] \IR^4\to\R^3 [/mm] gehen.
Nun zeige ich, dass es sich hierbei um eine lineare Abbildung handelt:
Es gilt:
1.) zz.: F(v+u)=F(v)+F(u)
[mm] F(av+bu)=F(\summe_{i=1}^{4}a_iv_i+\summe_{i=1}^{4}b_iu_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{4}a_iF(v_i)+\summe_{i=1}^{4}b_iF(u_i) [/mm] =
[mm] \summe_{i=1}^{3}a_iw_i+\summe_{i=1}^{3}b_iw_i=
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{3}(a_ib_i)w_i=F(u)+F(v).
[/mm]
2.) z.z.: F(av)=aF(v)
[mm] F(av)=F(a\summe_{i=1}^{4}b_iv_i)=\summe_{i=1}^{4}b_iF(av_i)=\summe_{i=1}^{3}b_iaw_i=a\summe_{i=1}^{3}b_iw_i=aF(v).
[/mm]
Dabei sind alle [mm] a_i, b_i \in \IR.
[/mm]
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Wäre das soweit in Ordnung? Oder sollte ich deiner Meinung nach noch die konkreten Vektoren bei der Umformung einsetzen?
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oder anders gefragt: wie hättest du es an meiner stelle aufgeschrieben?
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> Also, ich habs nun nochmal versucht.
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> Die gegeben Vektoren habe ich ja schon beim 1. Mal
> gepostet.
Hallo,
es schadet nicht, sie nochmal aufzuschreiben, so daß diejenigen, die Dir helfen wollen, alles auf einem Blick haben.
>
> Ich ergänze die 2 Vektoren des [mm]\IR^4[/mm] zu einer Basis. Da
> eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] immer aus 4 Vektoren besteht, fehlen
> also noch 2. (basisergänzungssatz)
Ja.
>
> Ich wähle einen weiteren beliebigen Vektor
> [mm]v_3=\vektor{0\\1\\-1\\1}.[/mm]
> Dazu noch [mm]v_4[/mm] als Nullvektor, also
> [mm]v_4=\vektor{0\\0\\0\\0},[/mm]
Nein. Eine jegliche Basis besteht aus linear unabhängigen vektoren, deshalb kann der Nullvektor nicht drin vorkommen.
Such also ein echte Basis und mach dann alles so, wie ich es gesagt habe.
Ich vermisse in dem, was Du weiterhin tust, beispielsweise, wie Du F auf den ganzen Raum [mm] \IR^4 [/mm] fortsetzt, also die Vorschrift, mit der man F(v) für ein beliebiges [mm] v\in \IR^4 [/mm] berechnen kann.
Erst danch ist es doch überhaupt sinnvoll, über Linearität zu reden.
Gruß v. Angela
> denn die Abbildung soll ja vom
> [mm]\IR^4\to\R^3[/mm] gehen.
>
> Nun zeige ich, dass es sich hierbei um eine lineare
> Abbildung handelt:
>
> Es gilt:
>
> 1.) zz.: F(v+u)=F(v)+F(u)
> [mm]F(av+bu)=F(\summe_{i=1}^{4}a_iv_i+\summe_{i=1}^{4}b_iu_i)[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{4}a_iF(v_i)+\summe_{i=1}^{4}b_iF(u_i)[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{3}a_iw_i+\summe_{i=1}^{3}b_iw_i=[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{3}(a_ib_i)w_i=F(u)+F(v).[/mm]
>
> 2.) z.z.: F(av)=aF(v)
>
> [mm]F(av)=F(a\summe_{i=1}^{4}b_iv_i)=\summe_{i=1}^{4}b_iF(av_i)=\summe_{i=1}^{3}b_iaw_i=a\summe_{i=1}^{3}b_iw_i=aF(v).[/mm]
>
> Dabei sind alle [mm]a_i, b_i \in \IR.[/mm]
>
>
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> Wäre das soweit in Ordnung? Oder sollte ich deiner Meinung
> nach noch die konkreten Vektoren bei der Umformung
> einsetzen?
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Meinst du mit der Vorschrift die Linearkombination bzw. die lineare Hülle/Spann? Wenn ja, dann muss ich sagen, dass ich die Linearkombination doch mit den Summenzeichen die ganze Zeit dargestellt habe.
Ja, mit dem Nullvektor hast du natürlich recht. Wie dämlich von mir.
Hab halt gedacht, dass ich auf diese Weise auf den [mm] \IR^3 [/mm] kommen würde.
Ich versuchs nochmal.
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> Meinst du mit der Vorschrift die Linearkombination bzw. die
> lineare Hülle/Spann? Wenn ja, dann muss ich sagen, dass
> ich die Linearkombination doch mit den Summenzeichen die
> ganze Zeit dargestellt habe.
Hallo,
bis zu Deinen Summenzeichen hatte ich gar nicht geguckt, denn es war ja vorher nicht richtig - und vor allen fehlt mir zunächst die Funktionsvorschrift.
Wenn wir die nicht haben, dann können wir doch nicht gut die Linearität der Funktion zeigen.
Das hier:
>>>> $ [mm] F(av+bu)=F(\summe_{i=1}^{4}a_iv_i+\summe_{i=1}^{4}b_iu_i) [/mm] $ [mm] \red{=} [/mm] $ [mm] \summe_{i=1}^{4}a_iF(v_i)+\summe_{i=1}^{4}b_iF(u_i) [/mm] $
ist so nicht richtig, denn Du verwendest beim roten Gleichheitszeichen die Linearität der Funktion, von welcher Du erst zeigen willst, daß sie linear ist.
Noch mal kurz zusammengefaßt der Gedanke der Aufgabenstellung - denn der ist wichtiger als irgendwelche kleinen Rechenschrittchen:
Du sollst sagen, ob es eine lineare Funktion F gibt mit [mm] F(v_1)=w_1 [/mm] und [mm] F(v_2)=w_2.
[/mm]
Daß es eine solche Funktion gibt, zeigen wir, indem wir nach der besprochenen Bastelanleitung eine definieren, von welcher wir zeigen, daß sie die obigen Funktionswerte hat und außerdem linear ist.
Die anschließende Frage nach der Eindeutigkeit beantworten wir, indem wir eine weitere Funktion vorzeigen, die tut, was sie tun soll.
Anders ausgedrückt geht es darum, ob man die gegebene Funktion [mm] F:\{v_1, v_2\} \to \IR^3 [/mm] zu einer lineren Funktion f: [mm] \IR^4\to \IR^3 [/mm] fortsetzen kann, und ob diese Fortsetzung eindeutig ist.
Gruß v. Angela
>
> Ja, mit dem Nullvektor hast du natürlich recht. Wie
> dämlich von mir.
> Hab halt gedacht, dass ich auf diese Weise auf den [mm]\IR^3[/mm]
> kommen würde.
>
> Ich versuchs nochmal.
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Ich dachte die Vorschrift für F(v) lautet gerade: F(v)=w ???
Oder hab ich da was falsch verstanden?
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> Ich dachte die Vorschrift für F(v) lautet gerade: F(v)=w
> ???
> Oder hab ich da was falsch verstanden?
Hallo,
was machst Du denn, wenn ich z.B. wissen will, was [mm] F(\vektor{1\\2\\3\\4}) [/mm] ist?
Ich brauche eine Vorschrift dafür, wie das ausrechnen kann? F(v)=w bringt einen nicht gerade weiter, oder?
Die Vorschrift - irgendwie wiederhole ich mich schon wieder:
Jeden Vektor [mm] v\in \IR^4 [/mm] kann man schrieben als Linearkombination der [mm] v_i, \vektor{1\\2\\3\\4}=\summe a_iv_i,
[/mm]
und die durch F(v):= [mm] \summe a_iF(v_i) [/mm] tut, was sie soll - was dann nachzuweisen ist.
Gruß v. Angela
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