lin. Unabh. von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 So 24.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2, A und A2 im Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen linear
unabhängig sind.
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix} [/mm] |
hey,
ich komme bei dieser Aufgabe iwie nicht weiter. Wie überprüge ich die lin. Unabh. von Matrizen ?
bitte um Hilfe !
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
Hi,
Im Prinzip tust du folgendes:
$ [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] *(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}
[/mm]
Ergebnis ist ein Gleichungssystem, das zu lösen ist.
was weißt du denn über die lin. Unabhängigkeit bzw. was steht in deinen Unterlagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 So 24.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
Naja, etwas das: "Ein Menge M ist lin. abh. wenn es möglich ist einen Vektor aus M als Lin.Komb. von anderen Vektoren aus M darzustellen."
Allerdings weiß ich nicht wirklich, wie ich das auf Matrizen übertragen soll (einfach nur die Spaltenvektoren der Matrix untereinandern ?) bzw. ob ich die Lin. Unabh. zw. den 3 Matrizen beweisen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2, A und A2 im Vektorraum
> der reellen 2×2-Matrizen linear
> unabhängig sind.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> hey,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe iwie nicht weiter. Wie
> überprüge ich die lin. Unabh. von Matrizen ?
>
> bitte um Hilfe !
Mal sehen , ob ich hellseherische Fähigkeiten habe !
ich nehme an es ist A = [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
Weiter nehm ich an, dass mit I2 die 2x2 Einheitsmatrix gemeint ist, also [mm] I_2
[/mm]
Und mit A2 wird wird wohl [mm] A^2 [/mm] gemeint sein.
Du sollst nun folgendes untersuchen: sind r,s,t [mm] \in \IR, [/mm] folgt dann aus
[mm] $rI_2+sA+tA^2=0$
[/mm]
stets , dass r=s=t= 0 ist oder nicht ?
wenn Ihr den Satz von Cayley-Hamilton schon hattet, ist die Frage ohne jede Rechnung zu beantworten.
Hattet Ihe diesen Satz noch nicht, so mußt Du rechnen
FRED
>
> lg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2, A und A2 im Vektorraum
> > der reellen 2×2-Matrizen linear
> > unabhängig sind.
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> > hey,
> >
> > ich komme bei dieser Aufgabe iwie nicht weiter. Wie
> > überprüge ich die lin. Unabh. von Matrizen ?
> >
> > bitte um Hilfe !
>
>
> Mal sehen , ob ich hellseherische Fähigkeiten habe !
>
> ich nehme an es ist A = [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Weiter nehm ich an, dass mit I2 die 2x2 Einheitsmatrix
> gemeint ist, also [mm]I_2[/mm]
>
> Und mit A2 wird wird wohl [mm]A^2[/mm] gemeint sein.
Reife Leistung, Fred!
Du scheinst da außer Kristallkugel, Katze, Rabe, Kaffeesatz noch etwas in der Hinterhand zu haben...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Untersuchen Sie, ob die Matrizen I2, A und A2 im Vektorraum
> > > der reellen 2×2-Matrizen linear
> > > unabhängig sind.
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> > > hey,
> > >
> > > ich komme bei dieser Aufgabe iwie nicht weiter. Wie
> > > überprüge ich die lin. Unabh. von Matrizen ?
> > >
> > > bitte um Hilfe !
> >
> >
> > Mal sehen , ob ich hellseherische Fähigkeiten habe !
> >
> > ich nehme an es ist A = [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
3 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Weiter nehm ich an, dass mit I2 die 2x2 Einheitsmatrix
> > gemeint ist, also [mm]I_2[/mm]
> >
> > Und mit A2 wird wird wohl [mm]A^2[/mm] gemeint sein.
>
> Reife Leistung, Fred!
Danke
>
> Du scheinst da außer Kristallkugel, Katze, Rabe,
> Kaffeesatz noch etwas in der Hinterhand zu haben...
Ich verrat es Dir: .... das Legen von Tarot-Karten ! Das hab ich gestern im Fernsehen auf 9 Live gelernt. Sehr zu empfehlen !
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
Danke für die (hellseherische) Antwort ! :)
Der Satz ist mir leider nicht wirklich bekannt...
Das Prinzip (bei Vektoren), das mir bekannt ist, ist ja, dass ich die Vektoren in ein Gleichungssysteme "stecke" und dann nachrechne, ob es noch andere Werte für r, s, t gibt != 0 für die das Gleichungssystem (re. Seite = 0) lösbar ist.
Aber wie mache ich das dann mit Matrizen, wenn ich wirklich nachrechnen muss ?
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die (hellseherische) Antwort ! :)
> Der Satz ist mir leider nicht wirklich bekannt...
Was heißt das ? Bekannt oder nicht bekannt ? Gehabt und wieder vergessen ?
> Das Prinzip (bei Vektoren), das mir bekannt ist, ist ja,
> dass ich die Vektoren in ein Gleichungssysteme "stecke" und
> dann nachrechne, ob es noch andere Werte für r, s, t gibt
> != 0 für die das Gleichungssystem (re. Seite = 0) lösbar
> ist.
> Aber wie mache ich das dann mit Matrizen, wenn ich
> wirklich nachrechnen muss ?
Schreib das
$ [mm] rI_2+sA+tA^2=0 [/mm] $
mal aus (A hast Du ja konkret gegeben). Du bekommst 4 Gleichungen mit den Unbekannten r,s,t.
FRED
>
> danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > Danke für die (hellseherische) Antwort ! :)
> > Der Satz ist mir leider nicht wirklich bekannt...
>
>
> Was heißt das ? Bekannt oder nicht bekannt ? Gehabt und
> wieder vergessen ?
>
Nicht bekannt - habe im Internet nachgeschaut, aber da haben mir die Definitionen nicht wirklich weiter geholfen...
> Schreib das
>
> [mm]rI_2+sA+tA^2=0[/mm]
>
> mal aus (A hast Du ja konkret gegeben). Du bekommst 4
> Gleichungen mit den Unbekannten r,s,t.
>
Das ist eben genau die Sache, die mir nicht klar ist. Wie komme ich da auf 4 Gleichungen ? Muss ich dazu die Matrizen als Spaltenvektor aufschreiben (darf man das?) ?
danke lg
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> > Schreib das
> >
> > [mm]rI_2+sA+tA^2=0[/mm]
> >
> > mal aus (A hast Du ja konkret gegeben). Du bekommst 4
> > Gleichungen mit den Unbekannten r,s,t.
> >
>
> Das ist eben genau die Sache, die mir nicht klar ist. Wie
> komme ich da auf 4 Gleichungen ? Muss ich dazu die Matrizen
> als Spaltenvektor aufschreiben
Hallo,
nein, das mußt Du nicht.
Schreib die matrizen hin, addiere sie und bedenke, daß rechts die Nullmatrix steht.
Der Vergleich der Matrixeinträge gibt Dir Dein Gleichungssystem.
> (darf man das?) ?
Wenn man es richtig macht, dann darf man das - aber einen Vorteil bringt's nicht.
Gruß v. Angela
>
> danke lg
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mo 25.01.2010 | | Autor: | f.l.o. |
> > Das ist eben genau die Sache, die mir nicht klar ist. Wie
> > komme ich da auf 4 Gleichungen ? Muss ich dazu die Matrizen
> > als Spaltenvektor aufschreiben
>
> Hallo,
>
> nein, das mußt Du nicht.
>
> Schreib die matrizen hin, addiere sie und bedenke, daß
> rechts die Nullmatrix steht.
Ok, d.h. ich komme von:
A*r + [mm] A^2*s [/mm] + [mm] I_2*t [/mm] = o
[mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 3 & -2 }*r [/mm] + [mm] \pmat{ 4 & -3 \\ -9 & 5 }*s [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*t [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
zu
[mm] \pmat{ -r+4s+t & r-3s \\ 3r-9s & -2r+5s+t } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
und löse dann die Gleichungen -r+4s+t=0, r-3s=0, 3r-9s=0 und -2r+5s+t=0 und erhalte, dass das Gleichungssystem nur dann richtig ist wenn r=s=t=0 woraus ich folgern kann, dass die Matrizen lin. unabhängig sind, richtig ? lg
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