lin. Unabhängigkeit in \IZ_3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte den Körper [mm] $(\IZ_3, \oplus, \odot)$.
[/mm]
Gegeben sei folgendes lin. Gleichungssystem mit [mm] x_1, x_2, x_3\in\IZ_3:
[/mm]
[mm] \underline{0}x_1 \oplus \underline{1}x_2 \oplus \underline{2}x_3 [/mm] = [mm] \underline{0}
[/mm]
[mm] \underline{1}x_1 \oplus \underline{2}x_2 \oplus \underline{0}x_3 [/mm] = [mm] \underline{0}
[/mm]
[mm] \underline{2}x_1 \oplus \underline{0}x_2 \oplus \underline{1}x_3 [/mm] = [mm] \underline{0}
[/mm]
Sei A := [mm] \pmat{
\underline{0} & \underline{1} & \underline{2}\\
\underline{1} & \underline{2} & \underline{0}\\
\underline{2} & \underline{0} & \underline{1}
}
[/mm]
die durch das LGS definierte Matrix. Seien [mm] $S_1$, $S_2$, $S_3$ [/mm] die zu A
zugehörigen Spaltenvektoren:
[mm] S_1 [/mm] := [mm] (\underline{0}, \underline{1}, \underline{2}) [/mm] ,
[mm] S_2 [/mm] := [mm] (\underline{1}, \underline{2}, \underline{0}) [/mm] ,
[mm] S_3 [/mm] := [mm] (\underline{2}, \underline{0}, \underline{1}) [/mm] .
Ferner sei
[mm] \sigma_A [/mm] := [mm] \sigma_{(S_1, S_2, S_3)} [/mm] : [mm] \IZ^3_3 \rightarrow \IZ^3_3 [/mm] , [mm] (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \mapsto \lambda_1\cdot S_1 [/mm] + [mm] \lambda_2\cdot S_2 [/mm] + [mm] \lambda_3\cdot S_3
[/mm]
der Spaltenhomomorphismus von A.
Frage: Ist dim(Bild [mm] \sigma_A) [/mm] = 3 ? |
Hallo liebes Forum,
Ich möchte zeigen, daß dim(Bild [mm] \sigma_A) [/mm] = 3 ist (meine Vermutung).
Es gilt offensichtlich
Bild [mm] \sigma_A [/mm] = [mm] [/mm] .
Nun würde ich vermuten, daß demnach dim(Bild [mm] \sigma_A) [/mm] = 3 gilt, da o.g. Erzeugnis drei Vektoren enthält, die "scheinbar" nicht lin. abhängig sind (kein Vektor ist eine Linearkombination der anderen Vektoren).
Problem: Wie zeigt man, daß [mm] {S_1, S_2, S_3} [/mm] l.u. ist?
Dazu betrachte ich o.g. homogenes LGS. Knackpunkt: Das LGS ist offensichtlich auch wahr, wenn die Lösungsvektoren (1,1,1) bzw. (2,2,2) für [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] benutzt werden, sprich, wenn alle [mm] x_i [/mm] gleich sind. Es folgt also nicht, daß der Lösungsvektor stets der Nullvektor ist.
Wo ist mein Denkfehler? Wie kann ich nachweisen, daß [mm] {S_1, S_2, S_3} [/mm] l.u. ist??
Vielen Dank im voraus für eine weiterbringende Hilfe!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 08.06.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
lineare unabhängigkeit wirst Du nicht beweisen können, da die Vektoren nun mal linear abhängig sind.
Es lässt sich sogar einer als Linearkombination der anderen darstellen (wenn man es vielleicht auch nicht auf den ersten Blick sieht):
z.B. ist [mm] $S_1 [/mm] = [mm] 2*S_2+2*S_3$. [/mm] Rechne es mal nach (natürlich modulo 3), müsste stimmen....
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
Hallo,
Jetzt sehe ich es auch ... Also stimmt meine Vermutung mit dim(..) = 3 dann auch nicht.
Auf jeden Fall danke für die Hilfe und die superschnelle Antwort!!
|
|
|
|
