lin., hom., gew. Dgl. 2. Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 27.02.2013 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | AWP:
[mm] \begin{cases} u''(t) + (t^2+1)u(t) = 0 \\ u(1) = 1 \\ u'(1) = \frac{1}{2} \end{cases} [/mm] |
Hallo!
Ich haenge ein wenig fest und brauch einen kleinen Tipp von euch!
Ich denke, dass man die Potenzreihe in [mm] t_0=1 [/mm] wegen den Anfangswertproblemen entwickeln muss. damit die Reihe um 1 rum konvergiert.
Dann muss man noch die Koeffizienten entwickeln, also hier:
[mm] (t^2+1) = 2(t-1)^0 + 2(t-1)^1 + (t-1)^2 = 2 + 2(t-1) + (t-1)^2[/mm]
Dann noch der Potenzreihenansatz und die Ableitungen:
[mm]u(t) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(t-1)^k [/mm]
[mm]u'(t) = \sum_{k=0}^{\infty} k a_k(t-1)^{k-1} [/mm]
[mm]u''(t) = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 a_k(t-1)^{k-2} [/mm]
Wenn ich das jetzt in die Dgl einsetze, erhalte ich:
[mm] 0 = \sum_{k=0}^\infty k^2 a_k(t-1)^{k-2} + (t^2+1)\sum_{k=0}^\infty a_k(t-1)^k[/mm]
[mm]= \sum_{k=0}^\infty k^2 a_k(t-1)^{k-2} + (2+2(t-1)+(t-1)^2)a_k(t-1)^k [/mm]
wobei ich in der zweiten Zeile die Entwicklung des Koeffizienten eingesetzt habe.
Und nu? Oder habe ich bereits was falsch gemacht?
Wie komme ich denn nun auf meine Variablen? Wie bringe ich die Anfangswerte ein?
Vielen Dank fuer eure Hilfe!
ilfairy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 27.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein u'' ist falsch,
1. [mm] k^2 [/mm] statt k*(k-1)
2. die summe fängt nicht bei k=0 an sonst hättest du ja neg. exponenten.
wenn du alles richtig hast, müssen die oeffizienten für alle [mm] (t-1)^k [/mm] verschwinden und [mm] a_0=u(1) a_1=u'(1) [/mm] sein.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 28.02.2013 | | Autor: | ilfairy |
Danke fuer die schnelle Antwort! Ich hab's gleich nochmal probiert, allerdings scheitert's bei mir am Koeffizientenvergleich..
Was ich bisher habe:
Die korrigierte Ableitung in die DGL eingesetzt ergibt
[mm] \sum_{k=2}^\infty a_k k (k-1) (t-1)^{k-2} + (2+2(t-1)+(t-1)^2) \sum_{k=0}^\infty a_k(t-1)^k = 0 [/mm]
.....
[mm] \sum_{k=2}^\infty a_k(k(k-1)(t-1)^{k-2}+ (2+2(t-1)+(t-1)^2) (t-1)^k) + (2+2(t-1)+(t-1)^2)a_0 + (2+2(t-1)+(t-1)^2)a_1(t-1)) =0 [/mm]
Ich weiss nicht weiter. Wo soll ich den was mit was vergleichen?
lg
ilfairy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 28.02.2013 | | Autor: | wauwau |
du muss die koeffizienten von [mm] $(t-1)^k$ [/mm] zusammenfassen und diese für $k [mm] \ge [/mm] 2$ auf null setzen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 28.02.2013 | | Autor: | ilfairy |
hmja.. das kommt mir bekannt vor. Ich denke, dass ich Potenzreihen nicht verstanden habe und das Thema nochmal durchlesen muss.
Vielen Dank fuer eure Hilfe!
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