lin Abb mit symmetri. Matrize < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wird eine lineare Abbildung des [mm] R^n [/mm] in sich bezüglich der Standardbasis des [mm] R^n [/mm] durch eine symmetrische Matrix beschrieben, so auch bezüglich einer beliebigen Orthonormalbasis des [mm] R^n. [/mm] |
Hallo ich habe bei 2 aufgaben die ich momentan bearteite größere probleme - und wäre für jegliche hilfestellung dankbar.
Zu dieser aufgabe:
1. ich finde nicht, dass hier gesagt ist was zu tun ist, wahrscheinlich soll die obige aussage gezeigt/bewiesen werden.
2. Wenn eine sym Matrize eine lin Abbildung des [mm] R^n [/mm] beschreibt ist das ja ziemlich egal ob man jetzt das ganze bezüglich der standardbasisvektoren oder bezüglich orthonormalisierten basis vektoren macht? - Man muss sicherlich die eigenschaften von sym matrizen ausnützen aber mir fällt ehrlich gesagt keine plausible begründung ein.
Was ist überhaupt das problem? :D
vielleicht könnt ihr mir helfen
mit freundlichen Grüßen
Mathe-mata
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 26.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Frage lautet: Stimmt es, dass wenn man eine symmetrische Matrix orthonormiert, dann kommt wieder eine symmetrische Matrix raus?
Gruß,
dormant
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Hi vielen dank schonmal, das hört sich aufjedenfall schonmal viel besser an!
Nur, wie orthonormiere ich eine matrix?
Muss ich die Eigenvektoren orthonormieren oder irgendwie mit einem orthogonalisierungsverfahren (schmidtsches?) arbeiten?
Das die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind ist ja eine eigenschaft symmetrischer Matrizen - sagt diese eigenschaft nicht genau das aus? Oder ist diese Eigenschaft vielleicht zu beweisen?
Leider bin ich mir auf diesem Gebiet noch wirklich sehr unsicher, ich hoffe trotzdem auf weitere tipps und anregungen :)
vielen dank aber soweit - bin gerade beim einlesen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 26.06.2007 | | Autor: | Mathe-mata |
hm man findet oft so etwas in diese richtung.
ist A eine sym Matrix so gibt es eine Orthogonale Matrix
mit [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] usw...
wegen den Nullen ist die matrix logischerweise Symmetrisch - ist das dann schon die lösung(eine Diagonalmatrix mit den eigenwerten auf der diagonalen?) - oder bringe ich jetzt was völlig durcheinander?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 26.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Wird eine lineare Abbildung des [mm]R^n[/mm] in sich bezüglich der
> Standardbasis des [mm]R^n[/mm] durch eine symmetrische Matrix
> beschrieben, so auch bezüglich einer beliebigen
> Orthonormalbasis des [mm]R^n.[/mm]
> Hallo ich habe bei 2 aufgaben die ich momentan bearteite
> größere probleme - und wäre für jegliche hilfestellung
> dankbar.
>
> Zu dieser aufgabe:
> 1. ich finde nicht, dass hier gesagt ist was zu tun ist,
> wahrscheinlich soll die obige aussage gezeigt/bewiesen
> werden.
> 2. Wenn eine sym Matrize eine lin Abbildung des [mm]R^n[/mm]
> beschreibt ist das ja ziemlich egal ob man jetzt das ganze
> bezüglich der standardbasisvektoren oder bezüglich
> orthonormalisierten basis vektoren macht? - Man muss
> sicherlich die eigenschaften von sym matrizen ausnützen
> aber mir fällt ehrlich gesagt keine plausible begründung
> ein.
Welche spezielle Eigenschaft hat eine Basistransformation (bzw. die entsprechende Matrix), die von der Standardbasis auf eine (andere) bezüglich dem Standardskalarprodukt orthonormale Basis transformiert? (Tipp: Die Transponierte dieser Transformationsmatrix ist gerade deren ...)
Wie transformiert sich eine gegebene Abbildungsmatrix wenn man eine Basistransformation vornimmt?
Wie kannst Du die Bedingung dafür, dass die so transformierten Matrix symmetrisch ist rein algebraisch (d.h. ohne Indicesgefuchtel) hinschreiben (und aufgrund der Antworten auf die vorhergehenden Fragen) auch beweisen?
> vielleicht könnt ihr mir helfen
um, vielleicht, vielleicht nicht.
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hm gingen jetzt beide antworten in verschiedene richtungen?
vielen dank auch an somebody leider kann ich mit den begriffen noch nicht so recht umgehen ich versuche mal ein bisschen auf die fragen zu antworten hm
> Welche spezielle Eigenschaft hat eine Basistransformation
> (bzw. die entsprechende Matrix), die von der Standardbasis
> auf eine (andere) bezüglich dem Standardskalarprodukt
> orthonormale Basis transformiert? (Tipp: Die Transponierte
> dieser Transformationsmatrix ist gerade deren ...)
Für eine basistrandformation benötigt man eine Basiswechselmatrix welche speziellen eigenschaften in bezug auf eine Orthonormalbasis bietet weiß ich nicht und leider auch nicht wie man sie formal allgemein hinschreiben kann.
-> aber warum ist der Basiswechsel bei dieser Aufgabenstellung wichtig
geht es nicht mehr um einen vergleich?
> Wie transformiert sich eine gegebene Abbildungsmatrix wenn
> man eine Basistransformation vornimmt?
Das ist das Problem: durch die allgemeine vorgabe sehe ich auch keine gegebene Abbildungsmatrix und somit ist die aufgabe mir mich nur schwer fassbar und überlegbar.
Gut:
es handelt sich um eine Lineare Abbildung diese wird einmal bezüglich der Standardbasis(vektoren) und einmal bezüglich beliebiger orthonormaler Basisvektoren durchgeführt.
Die Matrix, die die lin abb ausführt, ist symmetrisch.
Also [mm] A^t [/mm] = A
Und ich soll jetzt was zeigen? -
Ich glaub ich steh momentan ziemlich ZIEMLICH aufn schlauch.
Vielleicht kann mir trotzdem noch wer tipps geben :)
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> hm gingen jetzt beide antworten in verschiedene
> richtungen?
> vielen dank auch an somebody leider kann ich mit den
> begriffen noch nicht so recht umgehen ich versuche mal ein
> bisschen auf die fragen zu antworten hm
>
> > Welche spezielle Eigenschaft hat eine Basistransformation
> > (bzw. die entsprechende Matrix), die von der Standardbasis
> > auf eine (andere) bezüglich dem Standardskalarprodukt
> > orthonormale Basis transformiert? (Tipp: Die Transponierte
> > dieser Transformationsmatrix ist gerade deren ...)
>
> Für eine basistrandformation benötigt man eine
> Basiswechselmatrix welche speziellen eigenschaften in bezug
> auf eine Orthonormalbasis bietet weiß ich nicht und leider
> auch nicht wie man sie formal allgemein hinschreiben kann.
Die Transformationsmatrix [mm]T[/mm] ist orthogonal und daher ist deren Inverse gerade ihre Transponierte [mm]T^{-1} = T^t[/mm].
>
> -> aber warum ist der Basiswechsel bei dieser
> Aufgabenstellung wichtig
> geht es nicht mehr um einen vergleich?
>
> > Wie transformiert sich eine gegebene Abbildungsmatrix wenn
> > man eine Basistransformation vornimmt?
Ist [mm]T[/mm] die Matrix der Basistransformation, so transformierte sich die Matrix [mm]A[/mm] einer Abbildung so: [mm]A' = T \circ A \circ T^{-1}[/mm]
>
> Das ist das Problem: durch die allgemeine vorgabe sehe ich
> auch keine gegebene Abbildungsmatrix und somit ist die
> aufgabe mir mich nur schwer fassbar und überlegbar.
>
>
> Gut:
>
> es handelt sich um eine Lineare Abbildung diese wird einmal
> bezüglich der Standardbasis(vektoren) und einmal bezüglich
> beliebiger orthonormaler Basisvektoren durchgeführt.
>
> Die Matrix, die die lin abb ausführt, ist symmetrisch.
>
> Also [mm]A^t[/mm] = A
>
> Und ich soll jetzt was zeigen? -
Dass die orthogonal transformierte Matrix [mm]A'[/mm] (siehe oben) symmetrisch ist in dem Sinne, wie Du dies hier gerade richtig formuliert hast. Das heisst, Du musst zeigen, dass [mm]\big(T\circ A\circ T^{-1}\big)^t = T\circ A\circ T^{-1}[/mm] ist.
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> Ich glaub ich steh momentan ziemlich ZIEMLICH aufn
> schlauch.
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> Vielleicht kann mir trotzdem noch wer tipps geben :)
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WOW!!!! - vielen vielen dank, das hört sich schon 1000 mal verständlicher an :) - die beziehungen der orthogonalität hab ich vorhin schon auch durchgeschaut nur mir war der zusammenhang nicht ganz klar.
das zu beweisen sollte aber dann nicht mehr das problem sein:
mit A= [mm] A^t
[/mm]
und [mm] T^t [/mm] = T^(-1)
-> (T [mm] \circ [/mm] A [mm] \circ T^{-1})^t= (T^{-1})^t \circ A^t \circ T^t [/mm] = [mm] (T^{-1})^t \circ [/mm] A [mm] \circ [/mm] T^(-1) = [mm] (T^t)^t \circ [/mm] A [mm] \circ [/mm] T^(-1) = T [mm] \circ [/mm] A [mm] \circ [/mm] T^(-1)
sieht das jetzt besser aus? - oder fehlt noch viel :D
vielen dank nochmal werde das mal nochmal durchdenken
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> WOW!!!! - vielen vielen dank, das hört sich schon 1000 mal
> verständlicher an :) - die beziehungen der orthogonalität
> hab ich vorhin schon auch durchgeschaut nur mir war der
> zusammenhang nicht ganz klar.
>
> das zu beweisen sollte aber dann nicht mehr das problem
> sein:
> mit A= [mm]A^t[/mm]
> und [mm]T^t[/mm] = T^(-1)
>
>
> -> [mm](T \circ A \circ T^{-1})^t= (T^{-1})^t \circ A^t \circ T^t = (T^{-1})^t \circ A \circ T^{-1} = (T^t)^t \circ A \circ T^{-1} = T \circ A \circ T^{-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sieht das jetzt besser aus? - oder fehlt noch viel :D
Nein, ich denke das wars.
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> vielen dank nochmal werde das mal nochmal durchdenken
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