linear abhängig polynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | p4 ist in span{p1,p2} enthalten. zeigen sie dies!
p4=x-1
[mm] p1=x^{2}-x+2
[/mm]
[mm] p2=2x^{2}-3x+3
[/mm]
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Hallo,
ich sehe mal echt den Wald vor Bäumen nicht...und das ist bei Zeitnot nicht so gut.
Also vllt kann mir jmd. sagen, was an meinem Gedanken falsch ist bzw. was ich gerade nicht sehe:
Wenn p4 dort enthalten ist, dann ist p4 also auch als linearkombination der beiden polynome darstellbar. also muss ich ein Gleichungssystem (GLS) aufstellen, und die koeffizienten bestimmen:
p4= a*p1+b*p2
[mm] x-1=a(x^{2}-x+2) [/mm] + [mm] b(2x^{2}-3x+3) [/mm] (dann linken ausdruck auf die rechte seite bringen und nach potenzen geordnet koeffizientenklammern bilden)
0= [mm] x^{2}(a+2b)+x(-2+3b)+(2a+3b-1)
[/mm]
daraus GLS:
a+2b=0
-2+3b=0
2a+3b-1=0
mein problem:
ich erhalte b=-2/3, damit ist a=+4/3.
erstens macht es micht stutzig, dass ich ja die dritte GL garnicht "brauche" (aber ich muss doch für p4 keinen koeffizienten verwenden, oder? deshalb habe ich dann 2koeff. für drei gleichungen, oder MUSS ich vor (x-1) auch noch einen koeffizienten schreiben?)
zweitens: wenn ich das nun einsetze in meine "forderung", dann stimmt's nicht:
[mm] (4/3)(x^{2}-x+2) -(2/3)(2x^{2}-3x+3)
[/mm]
= 0 + x((4/3)+2)+(8/3)-2
=(2/3)x+2/3
und das ist (2/3)*(x+1) und NICHT (x+1) !!!!!!
Wieso kommt da jetzt nicht genau x+1 raus?
wenn ich nämlich für p4 auch nen vorfaktor (c) einführe, dann kommt da raus a=-2b, c=-5b und c=belieb.reell....und wenn dann c=1 (a=2/5, b=-1/5), dann steht
[mm] c(x-1)=a(x^{2}-x+2) [/mm] + [mm] b(2x^{2}-3x+3) [/mm] =
x-1= [mm] (2/5)(x^{2}-x+2) -(1/5)(2x^{2}-3x+3)
[/mm]
was wiederum um ein vielfaches abweicht.
aber wieso kann ich p4 denn nicht GENAU als ein vielfaches der summe der koeff.versehenen p1 und p2 darstellen.
ist das geforderte nun eigentlich gezeigt? meiner meinung ja nicht...
danke!
LZ
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Hallo Loewenzahn,
> p4 ist in span{p1,p2} enthalten. zeigen sie dies!
>
> p4=x-1
> [mm]p1=x^{2}-x+2[/mm]
> [mm]p2=2x^{2}-3x+3[/mm]
>
>
> Hallo,
> ich sehe mal echt den Wald vor Bäumen nicht...und das ist
> bei Zeitnot nicht so gut.
> Also vllt kann mir jmd. sagen, was an meinem Gedanken
> falsch ist bzw. was ich gerade nicht sehe:
>
> Wenn p4 dort enthalten ist, dann ist p4 also auch als
> linearkombination der beiden polynome darstellbar. also
> muss ich ein Gleichungssystem (GLS) aufstellen, und die
> koeffizienten bestimmen:
Jo!
>
> p4= a*p1+b*p2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x-1=a(x^{2}-x+2)[/mm] + [mm]b(2x^{2}-3x+3)[/mm] (dann linken
> ausdruck auf die rechte seite bringen und nach potenzen
> geordnet koeffizientenklammern bilden)
> 0= [mm]x^{2}(a+2b)+x(-2+3b)+(2a+3b-1)[/mm]
Hier ist was schiefgelaufen:
Es ist ausmultipliziert: [mm] $x-1=ax^2-ax+2a+2bx^2-3bx+3b$
[/mm]
Also [mm] $0=x^2(a+2b)+x(-a-3b-1)+(2a+3b+1)$
[/mm]
Aber das korrespondierende LGS ist nicht lösbar.
Hast du alles richtig abgeschrieben?
So liegt [mm] $p_4$ [/mm] nicht im Spann von [mm] $p_1,p_2$
[/mm]
>
> daraus GLS:
> a+2b=0
> -2+3b=0
> 2a+3b-1=0
>
> mein problem:
> ich erhalte b=-2/3, damit ist a=+4/3.
> erstens macht es micht stutzig, dass ich ja die dritte GL
> garnicht "brauche" (aber ich muss doch für p4 keinen
> koeffizienten verwenden, oder? deshalb habe ich dann
> 2koeff. für drei gleichungen, oder MUSS ich vor (x-1) auch
> noch einen koeffizienten schreiben?)
>
> zweitens: wenn ich das nun einsetze in meine "forderung",
> dann stimmt's nicht:
> [mm](4/3)(x^{2}-x+2) -(2/3)(2x^{2}-3x+3)[/mm]
> = 0 +
> x((4/3)+2)+(8/3)-2
> =(2/3)x+2/3
> und das ist (2/3)*(x+1) und NICHT (x+1) !!!!!!
>
> Wieso kommt da jetzt nicht genau x+1 raus?
> wenn ich nämlich für p4 auch nen vorfaktor (c) einführe,
> dann kommt da raus a=-2b, c=-5b und c=belieb.reell....und
> wenn dann c=1 (a=2/5, b=-1/5), dann steht
> [mm]c(x-1)=a(x^{2}-x+2)[/mm] + [mm]b(2x^{2}-3x+3)[/mm] =
> x-1= [mm](2/5)(x^{2}-x+2) -(1/5)(2x^{2}-3x+3)[/mm]
> was wiederum um
> ein vielfaches abweicht.
>
> aber wieso kann ich p4 denn nicht GENAU als ein vielfaches
> der summe der koeff.versehenen p1 und p2 darstellen.
>
> ist das geforderte nun eigentlich gezeigt? meiner meinung
> ja nicht...
> danke!
> LZ
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Lösung:
p4=2p1-p2 |
Hallo,
okay, ja, das mit dem "-1" rüberbringen...blöd gelaufen, aber das ist ja nicht das problem...denn die gleichung "beachte" ich ja dann letztendlich garnicht...ich arbeite mit der ersten und zweiten GL des GLS...(muss ich denn die dritte GL eigtl. garnicht einfließen lassen?)
vllt sagt dir die o.g. lösung was....
zum "abschreiben":
ich habe verglichen, es scheint alles so zu sein.
Jetzt habe ich den link noch dazugeschrieben, weil ich mir selbst nicht traue: aufgabe 4:
http://www.math.tu-dresden.de/~hudak/wing3/aufgaben-ueb3.pdf
und die lösung:
http://www.math.tu-dresden.de/~hudak/wing3/loesung-ueb3.pdf
ich verstehe außerdem nicht, wieso die Dimension des spans der vier polynome nur 2 ist und nicht drei, denn laut wikipedia heißt es:
"(...)Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden, mit der üblichen Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers, einen unendlich-dimensionalen Vektorraum. Für die Polynome, deren Grad durch ein N [mm] \in \mathbb [/mm] N nach oben beschränkt ist, hat der resultierende Vektorraum die Dimension N + 1 (...)" (http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Vektorraum_der_Polynome) also müsste doch die dim=3 gelten, oder? denn ob die polynome des gen. spans untereinander linear unabhängig sind, ändert ja nix an der dimension (die stützt sich auf die höchste potenz, oder??)?! ich bin verwirrt....
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Hallo nochmal,
> Lösung:
> p4=2p1-p2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ergibt das nicht [mm] $x\red{+}1 [/mm] \ [mm] \neq p_4(x)$ [/mm] ??
> Hallo,
> okay, ja, das mit dem "-1" rüberbringen...blöd gelaufen,
> aber das ist ja nicht das problem...denn die gleichung
> "beachte" ich ja dann letztendlich garnicht...ich arbeite
> mit der ersten und zweiten GL des GLS...(muss ich denn die
> dritte GL eigtl. garnicht einfließen lassen?)
Es müssen alle 3 Gleichungen erfüllt sein!
>
> vllt sagt dir die o.g. lösung was....
Nicht so recht
>
> zum "abschreiben":
> ich habe verglichen, es scheint alles so zu sein.
> Jetzt habe ich den link noch dazugeschrieben, weil ich mir
> selbst nicht traue: aufgabe 4:
>
> http://www.math.tu-dresden.de/~hudak/wing3/aufgaben-ueb3.pdf
Heureka, da steht [mm] $p_4(x)=x\red{+}1$
[/mm]
Also hast du doch falsch abgeschrieben ...
> und die lösung:
>
> http://www.math.tu-dresden.de/~hudak/wing3/loesung-ueb3.pdf
>
> ich verstehe außerdem nicht, wieso die Dimension des spans
> der vier polynome nur 2 ist und nicht drei, denn laut
> wikipedia heißt es:
> "(...)Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper
> bilden, mit der üblichen Addition und der Multiplikation
> mit einem Element des Körpers, einen
> unendlich-dimensionalen Vektorraum. Für die Polynome,
> deren Grad durch ein N [mm]\in \mathbb[/mm] N nach oben beschränkt
> ist, hat der resultierende Vektorraum die Dimension N + 1
> (...)"
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Vektorraum_der_Polynome)
> also müsste doch die dim=3 gelten, oder? denn ob die
> polynome des gen. spans untereinander linear unabhängig
> sind, ändert ja nix an der dimension
doch natürlich!
> (die stützt sich auf
> die höchste potenz, oder??)?! ich bin verwirrt....
Der VR der Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] N$ mit Koeffizienten aus einem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] hat Dimension $N+1$, die Standardbasis ist etwa [mm] $\{1,X,X^2,...,X^N\}$
[/mm]
Da sind $N+1$ linear unabhängige Vektoren drin ...
Deine 4 Polynome erzeugen einen Unterraum des Raumes der Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ (der selbst Dimension 3 hat)
Und es bilden nach deiner Rechnung offenbar nur 2 Polynome der 4 eine linear unabh. Menge.
Damit ist die Dimension des von diesen beiden erzeugten Unterraumes doch 2!
Gruß
schachuzipus
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Oh man, ich habe aber kurioserweise nur hier mit x-1 eingetragen, gerechnet habe ich mit x+1.
also auf meinem BLATT ne richtige angabe aber dort VERRECHNET und dann HIER falsche ANGABE gepostet....da kann(!) einem auch keiner mehr helfen....
...ich habe das ganze jetzt nochmal hier aufgeschrieben:
p4= b*p1+c*p2
[mm] (x+1)=b(x^{2}-x+2) [/mm] + [mm] c(2x^{2}-3x+3) [/mm] (dann linken ausdruck auf die rechte seite bringen -x und -1 und nach potenzen geordnet koeffizientenklammern bilden)
0= [mm] x^{2}(b+2c)+x(-b-3c-1)+(2b+3c-1) [/mm]
somit ergibt sich
b+2c=0
-b-3c-1=0
2b+3c-1=0
daraus:
b=-2c und c= -1 (aus) zweiter klammer)...wenn ich diesen c wert in die dritte klammer einsetze ergibt sich
c=-1.
somit ergibt sich
c=-1
und b= -2 und somit
p4 = -2(p1)-1(p2)
passt.....
ich wollte das nur noch posten, damit andere Interessierte auch ne Lösung haben...ich finde das zumindest immer ganz hilfreich, wenn ich andere Beiträge lese 
danke für die geduld....die ich oft nicht habe bei mir selbst....
LZ
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Hallo nochmal,
> Oh man, ich habe aber kurioserweise nur hier mit x-1
> eingetragen, gerechnet habe ich mit x+1.
>
> also bleibt das problem bestehen...ich habe das ganze jetzt
> nochmal hier aufgeschrieben:
> p4= b*p1+c*p2
> [mm](x+1)=b(x^{2}-x+2)[/mm] + [mm]c(2x^{2}-3x+3)[/mm] (dann linken
> ausdruck auf die rechte seite bringen -x und -1 und nach
> potenzen geordnet koeffizientenklammern bilden)
>
> 0= [mm]x^{2}(b+2c)+x(-b-3c-1)+(2b+3c-1)[/mm]
>
> somit ergibt sich
> b+2c=0
> -b-3c-1=0
> 2b+3c-1=0
> daraus:
> b=-2c und c= -1/5 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie war das mit den Minusklammern?
Mit der 2.Gleichung ergibt sich doch
$-(-2c)-3c-1=0$, also $-c=1$, also $c=-1$
> (aus) zweiter klammer)...wenn ich aber
> diesen c wert in die dritte klammer einsetze ergibt sich
> c=-1 ????
> was sagt mir das jetzt?
Dass du die Minusklammer unterschlagen hast.
Es ergibt sich mit $b=-2c$ aus (2) und (3) jeweils $c=-1$
Damit wieder in (1): $b=-2(-1)=2$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
wenn c= -1 und b=-2c dann ist natürlich b=+2.....ich bin fassungslos über meine schusselhaftigkeit...*kopfschüttel*
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