linear unabhängige Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seinen V- ein K-Vektorraum, [mm] \phi [/mm] : V \ to V eine lineare Abbildung und [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{k} [/mm] ein [mm] \phi-zyklisches [/mm] Vektorsystem, d.h. es gelte [mm] \phi(v_{i}) [/mm] = [mm] v_{i+1} [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k und [mm] \phi(v_{k} [/mm] = 0. Beweisen Sie, dass die Vektoren [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{k} [/mm] linear unabhängig sind. |
Wie beweise ich das?
Kann ich sagen dass sie lin. unabhängig sind, da es eine lineare Abbildung ist die injektiv ist und somit sich jeder Vektor von dem anderen unterscheidet und sie dadurch linear unabhängig sind?
Bitte um Hilfe .... :)
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> Es seinen V- ein K-Vektorraum, [mm]\phi[/mm] : V \ to V eine lineare
> Abbildung und [mm]v_{1},[/mm] ... , [mm]v_{k}[/mm] ein [mm]\phi-zyklisches[/mm]
> Vektorsystem, d.h. es gelte [mm]\phi(v_{i})[/mm] = [mm]v_{i+1}[/mm] für alle
> 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] k und [mm]\phi(v_{k})[/mm] = 0. Beweisen Sie, dass die
> Vektoren [mm]v_{1},[/mm] ... , [mm]v_{k}[/mm] linear unabhängig sind.
> Wie beweise ich das?
>
Hallo,
zunächst einmal gehe ich davon aus, daß irgendwo steht, daß die [mm] v_i [/mm] allesamt [mm] \not=0 [/mm] sind, sonst wären wir ja fertig ohne angefangen zu haben.
> Kann ich sagen dass sie lin. unabhängig sind, da es eine
> lineare Abbildung ist die injektiv ist
Nein! Davon, daß die Abbildung injektiv ist, steht nirgendwo etwas, und die Tatsache, daß [mm] \phi(v_{k})= [/mm] 0 ist, spricht sogar ausdrücklich dagegen.
und somit sich jeder
> Vektor von dem anderen unterscheidet und sie dadurch linear
> unabhängig sind?
Momentchen mal - was bedeutet linear unabhängig???
[mm] (\vektor{1 \\0}, \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1} [/mm] unterscheiden sich auch. linear unabhängig sind sie nicht...)
Zur Vorgehensweise:
Zunächst mach Dir klar, was lineare Unabhängigkeit bedeutet - bzw. wie das definiert ist. Schreib es für [mm] v_1,...,v_k [/mm] auf.
Wenn Du das hast, kannst Du die Sache erstmal für k=2 betrachten.
Nimmst Dir [mm] v_1, v_2 (\not=0) [/mm] mit [mm] \phi(v_1)=v_2, \phi(v_2)=0.
[/mm]
Nun betrachtest Du für [mm] a_i\in [/mm] K
[mm] a_1v_1+a_2v_2=0 [/mm] und versuchst, etwas über die [mm] a_i [/mm] herauszufinden, mit denen diese Gleichung zu erfüllen ist.
[mm] a_1v_1+a_2v_2=0 ==>\phi(a_1v_1+a_2v_2)=\phi(0) [/mm] ==>...
Wenn Du das hast, nimmst Du Dir drei Vektoren.
Danach solltest Du verstanden haben, wie die Sache läuft.
Du kannst es nun allgemein für k beweisen. Induktion bietet sich an.
Gruß v. Angela
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Also ich habe das nun mal angefangen:
zuerstmal die Definition [mm] v_{1},...v_{k} [/mm] sin linear unabhängig wenn für [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{k} \in [/mm] K und [mm] \lambda_{1}v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{k}v_{k} [/mm] = 0 folgt, dass [mm] \lambda_{1}=...=\lambda_{k} [/mm] = 0 ist.
Diese Definition ist mir auch klar :)
D.h. die [mm] a_{i} [/mm] müssen hier auch alle 0 sein damit [mm] a_1v_1+a_2v_2=0 ==>\phi(a_1v_1+a_2v_2)=\phi(0) [/mm] ==> ja das die [mm] v_{i} [/mm] linear unabhängig sind (hier war allerding i=2) für i=3 ist das dann eigentlich analog nur dass ein [mm] a_{3}v_{3} [/mm] hinzukommt für dass das [mm] a_{3} [/mm] auch wieder 0 sein muss damit der Nullvektor herauskommt. Jedoch kommt doch dann auch für [mm] a_{i}, \phi(0) [/mm] heraus und kann man dann bei der Induktion sagen dass daraus die lineare Unabhängigkeit folgt sagen?
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> Also ich habe das nun mal angefangen:
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> zuerstmal die Definition [mm]v_{1},...v_{k}[/mm] sin linear
> unabhängig wenn für [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{k} \in[/mm] K und
> [mm]\lambda_{1}v_{1}[/mm] + ... + [mm]\lambda_{k}v_{k}[/mm] = 0 folgt, dass
> [mm]\lambda_{1}=...=\lambda_{k}[/mm] = 0 ist.
>
> Diese Definition ist mir auch klar :)
Hallo,
da bin ich froh. Mitunter ist das nicht der Fall...
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> D.h. die [mm]a_{i}[/mm] müssen hier auch alle 0 sein damit
> [mm]a_1v_1+a_2v_2=0 ==>\phi(a_1v_1+a_2v_2)=\phi(0)[/mm] ==> ja das
> die [mm]v_{i}[/mm] linear unabhängig sind (hier war allerding i=2)
> für i=3 ist das dann eigentlich analog nur dass ein
> [mm]a_{3}v_{3}[/mm] hinzukommt für dass das [mm]a_{3}[/mm] auch wieder 0 sein
> muss damit der Nullvektor herauskommt. Jedoch kommt doch
> dann auch für [mm]a_{i}, \phi(0)[/mm] heraus und kann man dann bei
> der Induktion sagen dass daraus die lineare Unabhängigkeit
> folgt sagen?
Ich bin mir nach Deiner Beschreibung nicht ganz im Klaren darüber, ob Du es richtig gemacht hast oder nicht.
Schreib' doch mal bitte den Beweis für drei Vektoren hier auf.
Oder - fast besser (und kürzer!) - erklär mir diesen Gedankengang:
> [mm] \phi(a_1v_1+a_2v_2)=\phi(0)[/mm] [/mm] ==> ja das die [mm]v_{i}[/mm] linear unabhängig sind
Gruß v. Angela
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Also ich habe mir das alles jetzt mal so gedacht ... schreibe es mal so auf wie ich es bei mir aufgeschrieben habe
Den Beweis sollte ich ja mittels vollständiger Induktion
Als für den Induktionsanfang habe ich mal so angefangen:
[mm] \phi(\summe_{i=1}^{k}\lambda_{i}v_{i}) [/mm] = 0 => [mm] \summe_{i=1}^{k-1}\lambda_{i}v_{i+1}=0 [/mm] => [mm] \phi(\summe_{i=1}^{k-1}\lambda_{i}v_{i+1})=0 [/mm] => ... => [mm] \summe_{i=1}^{k -(k-1)}\lambda_{i}v_{i+(k-1)}= [/mm] 0 aber das ist ja eigentlich keine Summe mehr sonder nur noch [mm] \lambda_{1}v_{1} [/mm] und das ist ja genau dann null wenn [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0, da die [mm] v_{i} \not= [/mm] 0 für alle i
Damit seien [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] für i= 1,...,l-1
nun, wenn das bis jetzt alles stimmt, dann brauche ich nur noch den Induktionsschritt, aber ich wollte erstmal warten ob das oben stimmt :)
Dank dir.
Lg
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> Also ich habe mir das alles jetzt mal so gedacht ...
> schreibe es mal so auf wie ich es bei mir aufgeschrieben
> habe
Ah, ich sehe.
Du hast erkannt, wo der Witz ist, nämlich beim wiederholten Anwenden der Funktion. Wenn Du hast, daß [mm] \lambda_1 [/mm] ist, erhältst Du durch erneute Anwendung des Verfahrens [mm] \lambda_2=0 [/mm] und immer so weiter.
>
> Den Beweis sollte ich ja mittels vollständiger Induktion
>
> Als für den Induktionsanfang habe ich mal so angefangen:
Nun allerdings bin ich irritiert. Der Induktionsanfang ist das nicht! Den Induktionsanfang mußt Du ja für k=1 machen.
Kannst Du Induktion? Möglicherweise kommt das nur kraus rüber...
Im Induktionsschluß betrachtest Du
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}\lambda_{i}v_{i}= [/mm] 0
[mm] ==>\phi(\summe_{i=1}^{k+1}\lambda_{i}v_{i}) [/mm] = 0
==> wie oben: [mm] \lambda_1=0
[/mm]
Also hat man
[mm] \summe_{i=2}^{k+1}\lambda_{i}v_{i} [/mm] = 0
Was haben wir hier? Eine Linearkombination von k Vektoren [mm] v_i.
[/mm]
Und nun kommst die Induktionsvoraussetzung ins Spiel. Die sagt???
Gruß v. Angela
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Also diese Summe [mm] \summe_{i=2}^{k+1}\lambda_{i}v_{i} [/mm] splittet man wieder wie oben solange auf bis [mm] \summe_{i=2}^{k-(k-l)}\lambda_{i}v_{i+k-l} [/mm] = 0 da steht denn nach Induktionsvorraussetzung sind alle [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 für 1,...,l-1
d.h. daraus müsste dann folgen, dass [mm] \lambda_{l}v_{k} [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda_{l} [/mm] = 0
und da dies ja genau das k+1 mal ist, da der Vektor [mm] \phi(v_{i})=v_{i+1}
[/mm]
d.h. alle [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 und somit sind nach Definiton von lin.unabhängigkeit das die [mm] v_{i} [/mm] allesamt lin unabhängig sind ... stimmt das?
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> Also diese Summe [mm]\summe_{i=2}^{k+1}\lambda_{i}v_{i}[/mm]
> splittet man wieder wie oben solange auf
Nein. Du machst doch eine Induktion!
Du hast hier k Vektoren [mm] v_2,...,v_{k+1} [/mm] mit der Eigenschaft, daß [mm] \phi(v_i)=v_{i+1} [/mm] für i=2,..,k und [mm] \phi(v_{i+1})=0.
[/mm]
D.h., daß Du direkt die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst. Was sagt die Induktionsvoraussetzung über diese Vektoren?
Gruß v. Angela
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