linear unanbhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und [mm] v_1, v_2, v_3\in [/mm] V . Beweisen oder widerlegen Sie
folgende Aussagen:
(a) Wenn [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_2 [/mm] + [mm] v_3, v_3 [/mm] + [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] linear unabhängig.
(b) [mm] (v_1, v_2) [/mm] ist linear unabhängig genau dann, wenn [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_1- v_2) [/mm] linear unabhängig ist. |
zu a)
Wenn [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_2 [/mm] + [mm] v_3, v_3 [/mm] + [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] linear unabhängig.
das heißt, wenn [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3=0
[/mm]
dann sind [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3=0
[/mm]
wie kann ich nun beweisen, dass [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_2 [/mm] + [mm] v_3, v_3 [/mm] + [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] auch linear unabhängig sind?
über Tipps wäre ich dankbar!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und [mm]v_1, v_2, v_3\in[/mm]
> V . Beweisen oder widerlegen Sie
> folgende Aussagen:
>
> (a) Wenn [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm] linear unabhängig ist, dann ist
> [mm](v_1[/mm] + [mm]v_2, v_2[/mm] + [mm]v_3, v_3[/mm] + [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] linear
> unabhängig.
>
> (b) [mm](v_1, v_2)[/mm] ist linear unabhängig genau dann, wenn [mm](v_1[/mm]
> + [mm]v_2, v_1- v_2)[/mm] linear unabhängig ist.
> zu a)
> Wenn [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm](v_1[/mm]
> + [mm]v_2, v_2[/mm] + [mm]v_3, v_3[/mm] + [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] linear unabhängig.
>
> das heißt, wenn [mm]\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3=0[/mm]
>
> dann sind [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3=0[/mm]
>
> wie kann ich nun beweisen, dass [mm](v_1[/mm] + [mm]v_2, v_2[/mm] + [mm]v_3, v_3[/mm] + [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] auch linear unabhängig sind?
Boah! Echt!
Schlage die Definition von "Lineare Unabhängigkeit" nach!!!!
Wie beweist man lineare Unabhängigkeit?
Nachschlagen und die entsprechende LK ansetzen.
Dann nach den Vektoren [mm]v_i[/mm] sortieren und ausnutzen, dass sie nach Vor. linear unabh. sind.
Einfach ansetzen, der Rest ergibt sich beim Rechnen ...
>
> über Tipps wäre ich dankbar!
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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V heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination geschrieben werden kann, bei der alle Koeffizienten 0 sind.
Nach Voraussetzung sind [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig.
Es gilt also: [mm] a*v_1+b*v_2+c*v_3=0
[/mm]
Wenn ich zeigen soll, dass diese vektoren linear unabhänging sind würde ich ja ein LGS mit 3 Gleichungen erhalten woraus ich erhalte, dass a,b,c=0 sein müssen, damit [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig sind.
Also müsste ich ja aus
[mm] (v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_1+v_2) [/mm] auch ein LGS erstellen oder?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> V heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche
> Darstellung des Nullvektors als Linearkombination
> geschrieben werden kann, bei der alle Koeffizienten 0 sind.
>
> Nach Voraussetzung sind [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] linear unabhängig.
> Es gilt also: [mm]a*v_1+b*v_2+c*v_3=0[/mm]
> Wenn ich zeigen soll, dass diese vektoren linear
> unabhänging sind würde ich ja ein LGS mit 3 Gleichungen
> erhalten woraus ich erhalte, dass a,b,c=0 sein müssen,
> damit [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] linear unabhängig sind.
>
> Also müsste ich ja aus
> [mm](v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_1+v_2)[/mm] auch ein LGS erstellen
> oder?
>
Genau so isses.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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und genau an dieser stelle weiß ich nicht wie ich das LGS aufstellen soll.. muss ich das zu jedem der 3 Kombinationen, also z.B. [mm] v_1+v_2 [/mm] oder bilde ich aus den 3 Kombinationen ein LGS, wie folgt:
[mm] 0=a_1+v_{11}+a_2*v_{21}+a_3*0
[/mm]
[mm] 0=a_1*0+a_2*v_{22}+a_3*v_{32}
[/mm]
[mm] 0=a_1*v_{13}+a_2*v_{32}+a_3*v_{33}
[/mm]
Und das dann mit gauß nach [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] auflösen?
Ich hab echt keine Ahnung!!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> und genau an dieser stelle weiß ich nicht wie ich das LGS
> aufstellen soll.. muss ich das zu jedem der 3
> Kombinationen, also z.B. [mm]v_1+v_2[/mm] oder bilde ich aus den 3
> Kombinationen ein LGS, wie folgt:
>
> [mm]0=a_1+v_{11}+a_2*v_{21}+a_3*0[/mm]
> [mm]0=a_1*0+a_2*v_{22}+a_3*v_{32}[/mm]
> [mm]0=a_1*v_{13}+a_2*v_{32}+a_3*v_{33}[/mm]
>
> Und das dann mit gauß nach [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] auflösen?
>
Nein.
> Ich hab echt keine Ahnung!!
>
Zu zeigen ist doch, daß die Gleichung
[mm]a_{1}*\left(v_{1}+v_{2}\right)+a_{2}*\left(v_{2}+v_{3}\right)+a_{3}*\left(v_{3}+v_{1}+v_{2}\right)=0[/mm]
nur für [mm]a_{1}=a_{2}=a_{3}=0[/mm] erfüllbar ist.
Dazu führe vorige Gleichung auf die lineare
Unabhängigkeit von [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] zurück, d.h auf die Gleichung
[mm]\alpha_{1}*v_{1}+\alpha_{2}*v_{2}+\alpha_{3}*v_{3}=0[/mm]
mit [mm]\alpha_{k}=0,k=1,2,3[/mm]
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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ja, aber da muss ich doch ein Gleuchungssystem erstellen, wenn ich dafür die lin. unabh. zeigen will...aber wie erstelle ich das? so wie ich das gezeigt habe nur diesmal mit der richtigen gleuchung?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ja, aber da muss ich doch ein Gleuchungssystem erstellen,
> wenn ich dafür die lin. unabh. zeigen will...aber wie
> erstelle ich das? so wie ich das gezeigt habe nur diesmal
> mit der richtigen gleuchung?
>
Sortiere die Gleichung
[mm] a_{1}\cdot{}\left(v_{1}+v_{2}\right)+a_{2}\cdot{}\left(v_{2}+v_{3}\right)+a_{3}\cdot{}\left(v_{3}+v_{1}+v_{2}\right)=0 [/mm]
nach [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm]
und setzte die Koeffizienten davor 0.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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[mm] (a_1+a_3)v_1+(a_1+a_2+a_3)v_2+(a_2+a_3)v_3=0
[/mm]
Wenn die Koeffizienten Null sind, entsteht der Nullvektor!
also gilt bei dem Beispiel auch dafür lineare unabhängigkeit.
Wenn folgendes linear unabhängig ist, dann auch [mm] (v_1,v_2)
[/mm]
[mm] a_1(v_1+v_2)+a_2(v_1-v_2)=0
[/mm]
[mm] (a_1+a_2)v_1+(a_1-a_2)v_2=0
[/mm]
hier gilt keine lineare unabhängigkeit!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm](a_1+a_3)v_1+(a_1+a_2+a_3)v_2+(a_2+a_3)v_3=0[/mm]
>
> Wenn die Koeffizienten Null sind, entsteht der Nullvektor!
> also gilt bei dem Beispiel auch dafür lineare
> unabhängigkeit.
>
Das musst Du erst zeigen.
Es ergibt sich dann folgendes Gleichungssystem:
[mm]a_{1}+a_ {3}=0[/mm]
[mm]a_{1}+a_{2}+a_{0}=0[/mm]
[mm]a_{2}+a_ {3}=0[/mm]
Bestimme dann die Lösungen dieses Gleichungssystems.
> Wenn folgendes linear unabhängig ist, dann auch [mm](v_1,v_2)[/mm]
> [mm]a_1(v_1+v_2)+a_2(v_1-v_2)=0[/mm]
> [mm](a_1+a_2)v_1+(a_1-a_2)v_2=0[/mm]
>
> hier gilt keine lineare unabhängigkeit!
>
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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das hab ich bereits durchgerechnet, aber hier nicht gepostet. Alle a sind 0 wenn ich das LGS löse!
ebenso bei b)
[mm] v_1+v_2=0
[/mm]
[mm] v_1-v_2=0
[/mm]
[mm] v_1,v_2=0
[/mm]
Also ist [mm] (v_1,v_2) [/mm] auch linear unabhängig.
Danke fürs erklären!!!
MfG
Mathegirl
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> das hab ich bereits durchgerechnet, aber hier nicht
> gepostet. Alle a sind 0 wenn ich das LGS löse!
>
> ebenso bei b)
> [mm]v_1+v_2=0[/mm]
> [mm]v_1-v_2=0[/mm]
>
> [mm]v_1,v_2=0[/mm]
Hallo,
wenn Du mit v meinst:a, dann stimmt's.
EDIT: beachte diesen Beitrag.
Für [mm] K=\IR [/mm] ist Deine Rechnung richtig, aber im Körper [mm] \{0,1\} [/mm] stimmt sie nicht.
Überleg' Dir, warum.
Gruß v. Angela
>
> Also ist [mm](v_1,v_2)[/mm] auch linear unabhängig.
Ja.
Ich erinnere daranbei b) die Rückrichtung auch zu zeigen ist, falls dies noch nicht geschehen ist.
Gruß v. Angela
>
> Danke fürs erklären!!!
>
> MfG
> Mathegirl
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Stimmt, die Rückrichtung!! Danke für den Tipp, hätte ich jetzt vergessen! Undja, v soll a sein, ein Tippfehler 
muss ich bei a) auch zeigen/beweisen, dass [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] linear abhängig ist? es ja ja: "Wenn...linear abhängig ist..."
Mathegirl
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> muss ich bei a) auch zeigen/beweisen, dass [mm](v_1,v_2,v_3)[/mm]
> linear abhängig ist? es ja ja: "Wenn...linear abhängig
> ist..."
Hallo,
"wenn dann" ist "==>",
"genau dann, wenn" ist "<==>".
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 27.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Also ich hab zwei Fragen zur b):
Eigentlich wollt ich wissen, wie das mit der Rückrichtung ordentlich aufgeschrieben wird, aber mir wurde grade erzählt, dass die b) nur für Vektorräume wie [mm] \IR^2, \IR^3 [/mm] und ähnliches gilt, aber nciht für Polynomringe, Restklassenringe... Sagt mir grad leider nicht all zu viel und ich wollte deshalb mal eure Meinung dazu hören : )
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 27.11.2011 | | Autor: | SEcki |
> Eigentlich wollt ich wissen, wie das mit der Rückrichtung
> ordentlich aufgeschrieben wird, aber mir wurde grade
> erzählt, dass die b) nur für Vektorräume wie [mm]\IR^2, \IR^3[/mm]
> und ähnliches gilt, aber nciht für Polynomringe,
> Restklassenringe... Sagt mir grad leider nicht all zu viel
> und ich wollte deshalb mal eure Meinung dazu hören : )
Die b) ist im Allgemeinen falsch. Woran es scheitert, sieht man, wenn es beweisen moechte. Es hat aber nichts mit Polynomringen oder Restklassenringen a priori zu tun. Aber ich will hier nicht zu viel verraten :)
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 27.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Merkwürdig... dann versteh ich das wohl doch noch nicht ganz, denn bei mir funktioniert es : / Zumindest die Hinrichtung. Von der Rückrichtung weiß ich immer ncoh nciht, wie ich sie richtig aufschreibe : /
Kann ich denn als Gegenbeispiel ein Restklassenring nehmen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mo 28.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst einen Beweis für einen VR machen. und zwar allgemein. wie kommst du da auf einen Restklassenring?
linear unabh. von 2 Vektoren ist wirklich in beiden Richtungen direkt und allgemein über die Def, der lin. Unabhängigkeit zu zeigen.
Gruss leduart
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Warum ist dann [mm] (v_1,v_2) [/mm] nicht linear unabhängig? Die hinrichtung habe ich ja bereits gezeigt.
Rückrichtung:
[mm] a_1*v_1+a_2*v_2=0
[/mm]
[mm] a_1*v_1-a_2+v_2=0
[/mm]
wenn [mm] a_1=a_2=0 [/mm] sind, dann gilt lineare unabhängigkeit!
Warum ist die Aussage dann falsch?
Mathegirl
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> Warum ist dann [mm](v_1,v_2)[/mm] nicht linear unabhängig? Die
> hinrichtung habe ich ja bereits gezeigt.
>
> Rückrichtung:
> [mm]a_1*v_1+a_2*v_2=0[/mm]
> [mm]a_1*v_1-a_2+v_2=0[/mm]
Hallo,
wie kommst Du auf diese beiden Gleichungen?
Sie müssen ja Folge irgendeiner Überlegung sein, und diese solltest Du mitteilen.
Bei der Rückrichtung ist vorausgesetzt, daß [mm] u_1:=v_1+v_2 [/mm] und [mm] u_2:=v_1-v_2 [/mm] linear unabhängig sind, daß also aus ...=0 folgt, daß...
Zeigen mußt Du dann, daß mit dieser Voraussetzung aus
[mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2=0 [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] gilt.
Loslegen würde man so
Seien [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] so, daß
[mm] 0=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2= ???*(v_1+v_2)+???*(v_1-v_2).
[/mm]
Wenn Du die Linearfaktoren hast, kannst Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] v_1+v_2 [/mm] und [mm] v_1-v_2 [/mm] ausspielen.
Vielleicht ist es für mich zu früh am Tage, aber ich meine, daß die Aussage gilt.
Ein Problem könnten Körper der Charakteristik 2 machen, aber
wenn charK=2, dann sind [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] ja nicht l.u., der Fall kommt also nicht vor, und einen anderen Kasus knacktus sehe ich nicht.
Oh Gott! Beim Schreiben dämmert mir etwas...
Die Hin-Richtung stimmt i.a. nicht!
Mathegirl, wäre z.B. [mm] K=\IR, [/mm] dann würde Deine Rechnung für den Hinweg stimmen.
Aber K kann ja hier jeder Körper sein, also auch der mit nur zwei Elementen.
Schreib nochmal das kleine LGS und löse es ganz ausführlich.
Dann merkst Du den springenden Punkt beim Rechnen. Im Körper mit 2Elementen ist nämlich 1+1=0.
Nun ist es leicht, ein Gegenbeispiel für den Hinweg zu finden.
Nimm [mm] K=\IZ_2, [/mm] die Restklassen modulo 2, [mm] V=K^2 [/mm] und die Standardbasis.
Also ist der aktuelle Stand der Dinge: für Körper der Charakteristik [mm] \not=2 [/mm] stimmt die Aussage b), für solche mit charK=2 stimmt sie nicht.
Es reicht, wenn Du das Gegenbeispiel für die Hin-Richtung hinschreibst.
Gruß v. Angela
>
> wenn [mm]a_1=a_2=0[/mm] sind, dann gilt lineare unabhängigkeit!
>
> Warum ist die Aussage dann falsch?
>
> Mathegirl
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jetzt bin ich total verwirrt und steige gar nicht mehr durch..
die Hin_Richtung war also ok?
also: [mm] (a_1+a_2)v_2+(a_1-a_2)v_2=0
[/mm]
[mm] a_1+a_2=0
[/mm]
[mm] a_1-a_2=0
[/mm]
[mm] a_1=a_2=0
[/mm]
okay..
Aber was stimmt daran nicht?
[mm] a_1v_1+a_2v_2=0 =a_1(v_1+v_2)+a_2(v_1-v_2)
[/mm]
Dann muss doch [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] =0 sein..oder nicht?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich kann nur wiederholen, was Angela Dir geschrieben hat:
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"Nimm $ [mm] K=\IZ_2, [/mm] $ die Restklassen modulo 2, $ [mm] V=K^2 [/mm] $ und die Standardbasis.
Also ist der aktuelle Stand der Dinge: für Körper der Charakteristik $ [mm] \not=2 [/mm] $ stimmt die Aussage b), für solche mit charK=2 stimmt sie nicht.
Es reicht, wenn Du das Gegenbeispiel für die Hin-Richtung hinschreibst."
List Du Antworten, Dir man Dir gibt ? Denkst Du auch darüber nach ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Ich habe sehr wohl darüber nachgedacht aber dachte nicht dass das alle sist was ich zeigen muss...
Aber danke für den Tipp!!
Mathegirl
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> jetzt bin ich total verwirrt und steige gar nicht mehr
> durch..
>
> die Hin_Richtung war also ok?
Hallo,
ich hatte doch geschrieben, was damit ist...
Das Denken und Schreiben macht mir ziemlich viel Mühe, und ich fände es echt ganz gut, wenn die Ergebnisse meiner Bemühungen studiert und durchdacht würden - und in Deinem Interesse ist das auch, denn schließlich möchtest Du keinen Bären aufgebunden kriegen.
> also: [mm](a_1+a_2)v_2+(a_1-a_2)v_2=0[/mm]
>
> [mm]a_1+a_2=0[/mm]
> [mm]a_1-a_2=0[/mm]
> [mm]a_1=a_2=0[/mm]
>
> okay..
> Aber was stimmt daran nicht?
Ich hab' Dir doch genau gesagt, wann Deine Rechnung richtig ist und wann nicht. Nämlich?
Obgleich das Gegenbeispiel reicht, wäre es doch wichtig, daß Du weißt, woran Du im Verlauf der Rechnung erkennen kannst, daß die lineare Unabhängigkeit nicht in jedem Fall gilt.
Das siehst Du, wenn Du mal ganz genau sagst, wie Du auf die Zeile
> [mm] $a_1=a_2=0$
[/mm]
kommst.
Gruß v. Angela
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