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| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] eine Abbildung gegeben durch
F [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ y+z}
[/mm]
Zeigen Sie dass F linear ist, bestimmen sie Dimension von Im(F) und Ker(F) und geben sie jeweils eine Basis an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie man linearität zeigt ist mir klar...
Zur Dimsension und Basis von Im(F) und Ker (F):
Ker(F) wäre ja: x = -y und z = -y, also x=z=-y .
Also Basis [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] -> dimKer = 1. Stimmt das?
Und daraus folgt dimIm(F)=1 wegen Dimensionsformel. Und Basis wäre z.B.
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] .
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Hallo,
der Kern enthält alle die Vektoren, die von F auf Null abgebildet werden, zudem bildet der Kern einen Untervektorraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Das mit dem Kern stimmt bei dir also schon mal, er ist 1-dimensional und eine Basis ist z.B. [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Mit der Dimensionsformel und dem Bild bist du allerdings etwas durcheinander gekommen, es gilt doch für eine lineare Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] V\to [/mm] W$ die Formel $dim (V)=dim [mm] (Kern(\varphi)) [/mm] + dim [mm] (Bild(\varphi))$ [/mm] wobei V und W Vektorräume sind. In deinem Fall ist [mm] $V=\IR^3$ [/mm] (und [mm] $W=\IR^2$), [/mm] wie groß ist die Dimension des [mm] \IR^3, [/mm] des Kerns von F und wie groß muss dann die Dimension des Bildes sein?
Zudem bildet das Bild von F einen Untervektorraum des [mm] \IR^2, [/mm] also kann [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} (\in \IR^3) [/mm] kein Basisvektor des Bildes [mm] (\subseteq \IR^2) [/mm] sein.
Rechne mal ein bisschen rum und versuch doch mal dieses Verfahren. ist auf jeden fall zeitsparender...
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Kann man das sonst so machen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Das ist dann die Koeffizientenmatrix. Auf Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] .
Also sind Basisvektoren:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 } [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 }
[/mm]
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> Kann man das sonst so machen:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
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> Das ist dann die Koeffizientenmatrix. Auf Zeilenstufenform
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] .
>
> Also sind Basisvektoren:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 }[/mm] und [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 }[/mm]
hallo,
wenn man sich für Kern und Bild einer linearen Abbildung interessiert, stellt man normalerweise die darstellende Matrix der Abbildung auf.
Die darstellende Matrix enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren.
Hier wäre die darstellende Matrix
[mm] \pmat{1&1&0\\0&1&1}. [/mm] Zeilenstufenform, man sieht sofort, daß der rang, also die Dimension des Bildes =2 ist, und daß der erste und zweite der eingesetzen Spaltenvektoren eine Basis des Bildes sind. (Somit ist das Bild [mm] =\IR^2, [/mm] die Abbildung also surjektiv).
Den Kern liest man z.B. wie folgt ab:
da der Rang=2 ist, man aber drei Spalten hat, ist die Dimension des Kerns=1. man kann eine variable frei wälen, etwa z und erhält
z=t
y=-z=-t
x=-y=t,
also haben die Elemente des kerns die Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=t*\vektor{1\\-1\\1}.
[/mm]
es ist also [mm] \vektor{1\\-1\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
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Du hast eine Basis des Bildes bestimmt, indem Du die Bilder der Basisvektoren in eine Matrix "gelegt" und diese auf ZSF gebracht hast. Das ist nicht verkehrt, nur ziemlich unpraktisch, weil man, wenn man's anders macht, die ZSF sowohl für Bild als auch Kern gut verwenden kann.
Gruß v. Angela
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