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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mi 09.06.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Aufgabe
Ich habe eine Basis gegeben und Bilder von jedem Basisvektor, jetzt soll ich die Abbildungsvorschrift bestimmen.

Hi,

kann mir da jemand nen Tipp geben?

Merci, Stefan.

        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 09.06.2010
Autor: ChopSuey

Hallo,

die Spalten der Matrix $\ A$, die durch die lin. Abbildung eindeutig bestimmt ist, sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren der Urbildmenge.

D.h. die Spalten von $\ A $ sind gerade die Koordinaten der Bilder $\ [mm] \varphi(v_i) [/mm] $. $\ [mm] v_i [/mm] $ mit $\ i = 1,2,3,...,n $ sind die $\ n $ Basisvektoren deines Urbildbereichs.

Grüße
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mi 09.06.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Jo, das hatte ich auch.

Nur wie bekomme ich jetzt die Abbildungsvorschrift aus der Abbildungsmatrix?

Danke, Stefan.

Bezug
                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 09.06.2010
Autor: ChopSuey

Hi,

hast du die Matrix $\ A $ denn schon ermittelt? Durch $\ v [mm] \mapsto [/mm] Av $ hast du doch eine eindeutige Funktionsvorschrift.

ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mi 09.06.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Aufgabe
Hier noch mal die komplette Aufgabenstellung:

[mm] $V:=K^{2\times 2}$, [/mm] $K$ Körper.

[mm] $B=\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right):=\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 &1 \\ 0 & 1 }\right)$. [/mm]

Es sei [mm] $\phi:V\to K^{1\times 3}$ [/mm] die lineare Abbildung, die durch

[mm] $$\phi(b_1)=(1,1,0),\phi(b_2)=(0,1,0),\phi(b_3)=(0,0,0),\phi(b_4)=(0,0,1)$$ [/mm]

definiert ist.

Berechnen Sie [mm] $\phi\left(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right)$ [/mm] für [mm] $a_{ij}\in [/mm] K$.

Na ja, es sind doch einfach die Bilder der Basisvektoren als Spalten:

[mm] $A:=\pmat{ 1 & 0&0&0 \\ 1 & 1&0&0\\0&0&0&1 }$ [/mm]

Richtig?

Bezug
                                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Mi 09.06.2010
Autor: angela.h.b.


> Hier noch mal die komplette Aufgabenstellung:
>  
> [mm]V:=K^{2\times 2}[/mm], [mm]K[/mm] Körper.
>  
> [mm]B=\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right):=\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 &1 \\ 0 & 1 }\right)[/mm].
>  
> Es sei [mm]\phi:V\to K^{1\times 3}[/mm] die lineare Abbildung, die
> durch
>  
> [mm]\phi(b_1)=(1,1,0),\phi(b_2)=(0,1,0),\phi(b_3)=(0,0,0),\phi(b_4)=(0,0,1)[/mm]
>  
> definiert ist.
>  
> Berechnen Sie [mm]\phi\left(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right)[/mm]
> für [mm]a_{ij}\in K[/mm].
>  Na ja, es sind doch einfach die Bilder
> der Basisvektoren als Spalten:
>  
> [mm]A:=\pmat{ 1 & 0&0&0 \\ 1 & 1&0&0\\0&0&0&1 }[/mm]
>  
> Richtig?

Hallo,

die Matrix A ist die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basen B des [mm] K^{2\times 2} [/mm] und der kanonischen Basis [mm] E_3 [/mm] des [mm] K^3, [/mm] in "meiner" Schreibweise: [mm] _{E_3}M(\phi)_B. [/mm]
Du könntest mit ihrer Hilfe erstmal die Darstellungsmatrix bzgl der kanonischen Basis B' des [mm] K^{2\times 2} [/mm] aufstellen, und dann den Koordinatenvektor des Bildes von [mm] \vektor{a_1_1\\a_1_2\\a_2_1\\a_2_2}, [/mm] welchen Du dann wieder als Matrix schreibst.

Ich würde aber ganz naiv folgenden Weg wählen:
schreib die Matrix [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von B, wende [mm] \Phi [/mm] darauf an und nutze die Linearität der Funktion.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:30 Mi 09.06.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Danke,

[mm] $a_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+a_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+a_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+a_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }$ [/mm]

[mm] $\Phi\left(\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }\right)$ [/mm]

und nu?

bin iwie ratlos

Bezug
                                                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 09.06.2010
Autor: angela.h.b.


> Danke,
>  
> [mm]a_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+a_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+a_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+a_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }[/mm]
>  
> [mm]\Phi\left(\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }\right)[/mm]
>  
> und nu?
>  
> bin iwie ratlos

Hallo,

das kommt daher, daß Du meinen Rat nicht richtig befolgt hast.

Vielleicht liest Du nochmal, was ich gesagt habe: welche Matrix sollst Du als Linearkombination wovon schreiben, und was sollst Du anschließend tun?

Gruß v. Angela




Bezug
                                                                
Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Mi 09.06.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Sorry, Angela, ist schon was spät ;)


$ [mm] x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] $

So, oder?

bin grad was ängstlich

Bezug
                                                                        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Do 10.06.2010
Autor: angela.h.b.


> Sorry, Angela, ist schon was spät ;)
>  
>
> [mm]x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm]
>  
> So, oder?

Hallo,

ja, und die [mm] x_i [/mm] mußt Du jetzt berechnen.

Und wenn Du sie hast, nutzt Du die Linearität:

[mm] \phi(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}})=\phi(x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 })= x_1\phi(\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }) [/mm] +... usw.

>  
> bin grad was ängstlich

Es kann doch nicht viel passieren...

Gruß v. Angela


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