lineare Abbildung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 28.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man bestimme alle [mm] \IF_{2}-linearen [/mm] Abbildungen [mm] f:\IF_{2}^{2}-->\IF_{2}. [/mm] |
Hallo^^
Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen,hatte jedoch einige Schwierigkeiten.
Also,ich weiß zunächst,dass [mm] \IF_{2} [/mm] ein Körper mit zwei Elementen ist.Da es ein Körper ist,muss es auch ein neutrales Element haben,also hat er die Elemente {0,1}. (Stimmt es bis hier hin?)
Dann bedeutet [mm] \IF_{2}^{2}=\IF_{2}x\IF_{2} [/mm] und [mm] \IF_{2}x\IF_{2} [/mm] ist die Menge aller Paare die die Elmenete 0 und 1 haben.Also gibt es folgende Paare: (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
Jetzt muss ich alle [mm] \IF_{2}-linearen [/mm] Abbildungen bestimmen.Das verstehe ich nicht so ganz.Was heißt es denn,wenn eine Abbildung [mm] \IF_{2}-linear [/mm] ist? Und wie bestimme ich die?
Wir hatten uns nur aufgeschrieben,dass eine Abbildung K-linear ist,wenn
[mm] 1.\forall v_{1},v_{2} \in V:f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2}) [/mm] und
[mm] 2.\forall \lambda \in [/mm] K,v [mm] \in V:f(\lambda\cdot{}v)=\lambda\cdot{}f(v).
[/mm]
Muss ich irgendwie durch diese Bedingungen die Abbildungen bestimmen?
lg
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> Man bestimme alle [mm]\IF_{2}-linearen[/mm] Abbildungen
> [mm]f:\IF_{2}^{2}-->\IF_{2}.[/mm]
> Hallo^^
> Also,ich weiß zunächst,dass [mm]\IF_{2}[/mm] ein Körper mit zwei
> Elementen ist.Da es ein Körper ist,muss es auch ein
> neutrales Element haben,also hat er die Elemente {0,1}.
> (Stimmt es bis hier hin?)
Hallo,
ja.
>
> Dann bedeutet [mm]\IF_{2}^{2}=\IF_{2}x\IF_{2}[/mm] und
> [mm]\IF_{2}x\IF_{2}[/mm] ist die Menge aller Paare die die Elmenete
> 0 und 1 haben.Also gibt es folgende Paare:
> (0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
Ja.
>
> Jetzt muss ich alle [mm]\IF_{2}-linearen[/mm] Abbildungen
aus dem [mm] $\IF_{2}^{2}$ [/mm] in den [mm] \IF_2
[/mm]
> bestimmen.
> Das verstehe ich nicht so ganz.Was heißt es
> denn,wenn eine Abbildung [mm]\IF_{2}-linear[/mm] ist? Und wie
> bestimme ich die?
> Wir hatten uns nur aufgeschrieben,dass eine Abbildung
> K-linear ist,wenn
> [mm]1.\forall v_{1},v_{2} \in V:f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})[/mm]
> und
> [mm]2.\forall \lambda \in[/mm] K,v [mm]\in V:f(\lambda\cdot{}v)=\lambda\cdot{}f(v).[/mm]
Du suchst sämtliche Abbildungen [mm] f:$\IF_{2}^{2} \to \IF_2$
[/mm]
mit
> [mm] $1.\forall v_{1},v_{2} \in \IF_2^2:f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$
[/mm]
> und
> [mm] $2.\forall \lambda \in$ \IF_2,v $\in \IF_2^2:f(\lambda\cdot{}v)=\lambda\cdot{}f(v).$
[/mm]
Die zweite Bedingung sagt, daß die Linearkombinationen mit Faktoren aus [mm] \IF_2 [/mm] gebildet werden, daher [mm] \IF_2-linear.
[/mm]
Überleg Dir nun, welche Möglichkeiten Du hast, die Vektoren [mm] \vektor{0\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1} [/mm] aud die Elemente 0 und 1 abzubilden, so daß die Abbildung linear ist.
(Hinweis: es gibt 4 solcher Abbildungen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Du suchst sämtliche Abbildungen f:[mm]\IF_{2}^{2} \to \IF_2[/mm]
>
> mit
> > [mm]1.\forall v_{1},v_{2} \in \IF_2^2:f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})[/mm]
>
> > und
> > [mm]2.\forall \lambda \in[/mm] [mm]\IF_2,v[/mm] [mm]\in \IF_2^2:f(\lambda\cdot{}v)=\lambda\cdot{}f(v).[/mm]
>
> Die zweite Bedingung sagt, daß die Linearkombinationen mit
> Faktoren aus [mm]\IF_2[/mm] gebildet werden, daher [mm]\IF_2-linear.[/mm]
>
> Überleg Dir nun, welche Möglichkeiten Du hast, die
> Vektoren [mm]\vektor{0\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{1\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{1\\1}[/mm] aud die Elemente 0 und 1 abzubilden, so daß
> die Abbildung linear ist.
>
> (Hinweis: es gibt 4 solcher Abbildungen).
Also irgendwie weiß ich nicht genau,wie ich da rangehen soll.Ich brauch doch eine Funktion,damit ich gucken kann,ob die beiden Bedingungen zutreffen oder nicht,aber ich hab hier keine Funktion.
Kann ich z.B. sagen,dass [mm] \vektor{0\\1}*\vektor{0\\1}=1. [/mm] Das heißt der Vektor [mm] \vektor{0\\1} [/mm] wird auf die 1 abgebildet.Wäre das eine Möglichkeit?
Wenn ich das aber so rechne,dann hab ich insgesamt 9 Möglichkeiten???
lg
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> >
> > Du suchst sämtliche Abbildungen f:[mm]\IF_{2}^{2} \to \IF_2[/mm]
>
> >
> > mit
> > > [mm]1.\forall v_{1},v_{2} \in \IF_2^2:f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})[/mm]
>
> >
> > > und
> > > [mm]2.\forall \lambda \in[/mm] [mm]\IF_2,v[/mm] [mm]\in \IF_2^2:f(\lambda\cdot{}v)=\lambda\cdot{}f(v).[/mm]
>
> >
> > Die zweite Bedingung sagt, daß die Linearkombinationen mit
> > Faktoren aus [mm]\IF_2[/mm] gebildet werden, daher [mm]\IF_2-linear.[/mm]
> >
> > Überleg Dir nun, welche Möglichkeiten Du hast, die
> > Vektoren [mm]\vektor{0\\
0}, \vektor{0\\
1}, \vektor{1\\
0}[/mm] und
> > [mm]\vektor{1\\
1}[/mm] aud die Elemente 0 und 1 abzubilden, so daß
> > die Abbildung linear ist.
> >
> > (Hinweis: es gibt 4 solcher Abbildungen).
>
> Also irgendwie weiß ich nicht genau,wie ich da rangehen
> soll.Ich brauch doch eine Funktion,damit ich gucken kann,ob
> die beiden Bedingungen zutreffen oder nicht,aber ich hab
> hier keine Funktion.
Hallo,
natürlich nicht.
Die sollst Du ja erst finden bzw. erschaffen.
Überleg Dir erstmal, was [mm] f(\vektor{0\\0}) [/mm] sein muß - zur Auswahl hast Du hier ja sowieso nur 0 und 1.
Bedenke, daß [mm] 0*\vektor{0\\0}=\vektor{0\\0} [/mm] und die Linearitätsbedingung.
Dann überlege Dir mal, ob Du, wenn Du Dir Funktionswerte für [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] ausgesucht hast, frei bist in der Wahl des Funktionswertes von [mm] \vektor{1\\1}=\vektor{1\\0} +\vektor{0\\1}.
[/mm]
(Du wist sehen, daß das nicht der Fall ist wegen der Linearitätsbedingung)
Du mußt nicht denken, daß Du irgendeine hochtrabenden Funktionsvorschrift brauchst.
Du [mm] g:\IF_2^2\to \IF_2
[/mm]
mit
[mm] g(\vektor{0\\0}):=0
[/mm]
[mm] g(\vektor{1\\0}):=1
[/mm]
[mm] g(\vektor{0\\1}):=1
[/mm]
[mm] g(\vektor{1\\1}):=1
[/mm]
habe ich eine Abbildung [mm] \IF_2^2\to \IF_2 [/mm] definiert, allerdings ist sie bedauerlicherweise nicht linear.
Finde Du nun die linearen Abbildungen.
Ich habe in meiner Anleitung bewußt nur eine Minimalausstattung an benötigten Sätzen/Kenntnissen verwendet, weil man damit auskommt und ich vermute, daß Ihr wirklich ganz am Anfang seid.
Gruß v. Angela
> Kann ich z.B. sagen,dass [mm]\vektor{0\\
1}*\vektor{0\\
1}=1.[/mm]
> Das heißt der Vektor [mm]\vektor{0\\
1}[/mm] wird auf die 1
> abgebildet.Wäre das eine Möglichkeit?
> Wenn ich das aber so rechne,dann hab ich insgesamt 9
> Möglichkeiten???
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Lenzo |
Hallo, auch ich bin Forumneuling und an derselben Aufgabe dran. Hoffe, ich darf hier "mitmachen" und Fragen stellen bzw. Vorschläge zu dieser machen?!
>
>
> Du mußt nicht denken, daß Du irgendeine hochtrabenden
> Funktionsvorschrift brauchst.
>
> Du [mm]g:\IF_2^2\to \IF_2[/mm]
> mit
> [mm]g(\vektor{0\\
0}):=0[/mm]
> [mm]g(\vektor{1\\
0}):=1[/mm]
> [mm]g(\vektor{0\\
1}):=1[/mm]
> [mm]g(\vektor{1\\
1}):=1[/mm]
>
> habe ich eine Abbildung [mm]\IF_2^2\to \IF_2[/mm] definiert,
Wäre zB. die algemeinere Vorschrift: [mm]g:\IF_2^2\to \IF_2[/mm] mit [mm]g(\vektor{a1\\
a2}):=0[/mm] für a1=a2=0; und :=1 sonst, richtig?
> allerdings ist sie bedauerlicherweise nicht linear.
Ist sie linear, wenn [mm]g(\vektor{1\\
1}):=0[/mm] ist? Also [mm]g(\vektor{a1\\
a2}):=1[/mm] für a1[mm]\neq[/mm]a2 und =0 sonst?
>
> Finde Du nun die linearen Abbildungen.
>
Wenn ich das richtig verstanden habe und es 4 lineare Abb. gibt; gibt es dann insgesamt 16 Abbildungen???
Müsste ich den Beweis für g linear so führen, dass ich das für jede Kombination einzeln durchrechne? Mir fällt keine Möglichkeit ein, dass zu verallgemeinern, da ich ja die Fallunterscheidung mache...
DANKE!
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> Hallo, auch ich bin Forumneuling und an derselben Aufgabe
> dran. Hoffe, ich darf hier "mitmachen" und Fragen stellen
> bzw. Vorschläge zu dieser machen?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Klar darfst Du mitmachen!
Es ist sogar äußerst erwünscht, daß Du für probleme, die hier gerade schon bearbeitet werden, nicht eine weitere Diskussion aufmachst.
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> >
> >
> > Du mußt nicht denken, daß Du irgendeine hochtrabenden
> > Funktionsvorschrift brauchst.
> >
> > Du [mm]g:\IF_2^2\to \IF_2[/mm]
> > mit
> > [mm]g(\vektor{0\\
0}):=0[/mm]
> > [mm]g(\vektor{1\\
0}):=1[/mm]
> >
> [mm]g(\vektor{0\\
1}):=1[/mm]
> > [mm]g(\vektor{1\\
1}):=1[/mm]
> >
> > habe ich eine Abbildung [mm]\IF_2^2\to \IF_2[/mm] definiert,
>
> Wäre zB. die algemeinere Vorschrift: [mm]g:\IF_2^2\to \IF_2[/mm]
> mit [mm]g(\vektor{a1\\
a2}):=0[/mm] für a1=a2=0; und :=1 sonst,
> richtig?
Nein.
Prüfe hierzu die Linearitätsbedingungen, Du wirst sehen, daß sie verletzt sind.
>
> > allerdings ist sie bedauerlicherweise nicht linear.
>
> Ist sie linear, wenn [mm]g(\vektor{1\\
1}):=0[/mm] ist?
Ja.
> Also
> [mm]g(\vektor{a1\\
a2}):=1[/mm] für a1[mm]\neq[/mm]a2 und =0 sonst?
Ja.
(Du mußt übrigens nicht denken, daß Deine Schreibweise irgendwie "mathematischer" ist - sie ist bloß nicht ganz so schnell zu verstehen, aber ob das ein Vorteil ist?)
> >
> > Finde Du nun die linearen Abbildungen.
> >
> Wenn ich das richtig verstanden habe und es 4 lineare Abb.
> gibt; gibt es dann insgesamt 16 Abbildungen???
Ja.
Du hast ja für jedes Element des definitionsbereiches 2 Möglichkeiten dafür, ihm einen Funktionswert zuzuweisen.
>
> Müsste ich den Beweis für g linear so führen, dass ich
> das für jede Kombination einzeln durchrechne?
Für jede Funktion einzeln, ja.
Es gibt hier jeweils nicht viele Kombinationen, die man prüfen muß.
Bedenke: wenn g linear ist, ist hier immer
g(0)=0,
g(v+v)=g(0)=0 und
g(v)+g(v)=0 für alle [mm] v\in \IF_2^2.
[/mm]
g(0+v)=g(v)=g(v)+g(0).
Wirklich prüfen mußt Du nach diesen Feststellungen nur noch wenig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
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> > Also
> > [mm]g(\vektor{a1\\
a2}):=1[/mm] für a1[mm]\neq[/mm]a2 und =0 sonst?
>
> Ja.
Wenn das so ist,dann ist doch eine lineare Abbildung definiert durch [mm] g(\vektor{0\\0}):=0
[/mm]
[mm] g(\vektor{1\\1}):=0
[/mm]
[mm] g(\vektor{1\\0}):=1
[/mm]
[mm] g(\vektor{0\\1}):=1
[/mm]
Aber wie kriege ich die anderen 3 raus,denn das Allgemeine,was Lenzo da geschrieben hat,gilt für diese Abbildung und wenn [mm] g(\vektor{a1\\ a2}):=1 [/mm] für a1 [mm] \not= [/mm] a2 ist,dann ist das doch immer [mm] g(\vektor{1\\0}):=1
[/mm]
[mm] g(\vektor{0\\1}):=1.Dann [/mm] hab ich doch gar keine anderen Fälle,wie soll ich denn dann 3 andere Abbildungen rauskriegen?
Achso und wenn ich rechne [mm] g(\vektor{0\\1}+\vektor{1\\1}):= g(\vektor{1\\2},aber [/mm] das kann ich doch gar nicht berechnen?
lg
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> Wenn das so ist,dann ist doch eine lineare Abbildung
> definiert durch [mm]g(\vektor{0\\
0}):=0[/mm]
> [mm]g(\vektor{1\\
1}):=0[/mm]
> [mm]g(\vektor{1\\
0}):=1[/mm]
> [mm]g(\vektor{0\\
1}):=1[/mm]
>
> Aber wie kriege ich die anderen 3 raus,
Durch scharfes Nachdenken.
Eine Möglichkeit wäre ja, einfach mal alle 16 Abbildungen, die es gibt aus dem [mm] \IF_2^2 [/mm] in den [mm] \IF, [/mm] ausfzuschreiben und nacheinander die Linerarität zu prüfen...
Da wir, wenn ich mich recht entsinne, bereits besprochen hattn, daß immer [mm] g(\vektor{0\\0})=0 [/mm] sein muß, bleiben nur noch 8 Möglichkeiten übrig.
Bedenke: immer mußt gelten [mm] g(\vektor{1\\0})+g(\vektor{0\\1})=g(vektor{1\\1}).
[/mm]
Das bedeutet: wenn Du Dich für [mm] g(\vektor{1\\0}) [/mm] und [mm] g(\vektor{0\\1}) [/mm] entschieden hast, gibt's für [mm] g(\vektor{1\\1}) [/mm] keine Wahlmöglichkeit mehr.
>
> Achso und wenn ich rechne [mm]g(\vektor{0\\
1}+\vektor{1\\
1}):= g(\vektor{1\\
2},aber[/mm]
> das kann ich doch gar nicht berechnen?
Wieso? Du bist doch in [mm] \IF_2 [/mm] und weißt, daß 1+1=0 gilt,
also ist
hier bei jeder linearen Abbildung [mm] $g(\vektor{0\\1}+\vektor{1\\1}= g(\vektor{1\\0})$
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 31.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Also ich hab mir jetzt alle 16 Möglichkeiten aufgeschrieben und da [mm] g(\vektor{1\\0})+g(\vektor{0\\1})=g(\vektor{1\\1}),hatte [/mm] ich 8.
So,dann bin ich alle Möglichkeiten durchgegangen und hab jetzt vier Lineare Abbildungen,ich hoffe die stimmen jetzt:
[mm] 1.g(\vektor{0\\ 0}):=0,g(\vektor{1\\ 1}):=0,g(\vektor{0\\ 1}):=0,g(\vektor{1\\ 0}):=0
[/mm]
[mm] 2.g(\vektor{0\\ 0}):=0,g(\vektor{1\\ 1}):=1,g(\vektor{0\\ 1}):=0,g(\vektor{1\\ 0}):=1
[/mm]
[mm] 3.g(\vektor{0\\ 0}):=0,g(\vektor{1\\ 1}):=1,g(\vektor{0\\ 1}):=1,g(\vektor{1\\ 0}):=0
[/mm]
[mm] 4.g(\vektor{0\\ 0}):=0,g(\vektor{1\\ 1}):=0,g(\vektor{0\\ 1}):=1,g(\vektor{1\\ 0}):=1
[/mm]
lg
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Hallo,
ja, diese sind richtig jetzt.
Du wirst demnächst lernen, daß [mm] \vektor{0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0} [/mm] zusammen eine Basis des [mm] \IF_2^2 [/mm] sind, daß Du ihnen, wenn Du eine lineare Abbildung haben möchtest, beliebige Werte der Zielmenge zuweisen darfst und damit die lineare Abbildung komplett festliegt.
(Spruch:"Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.")
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ich glaube ich habe drei Abbildungen,die linear sind.
[mm] 1.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{1\\0}):=0,g(\vektor{1\\1}):=0
[/mm]
[mm] 2.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{1\\0}):=1,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{2\\1}):=1
[/mm]
[mm] 3.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{1\\0}):=0,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{2\\1}):=1
[/mm]
Sind die linear?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok,ich glaube ich habe drei Abbildungen,die linear sind.
>
> [mm]1.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{1\\0}):=0,g(\vektor{1\\1}):=0[/mm]
>
> [mm]2.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{1\\0}):=1,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{2\\1}):=1[/mm]
>
> [mm]3.g(\vektor{0\\0}):=0,g(\vektor{1\\0}):=0,g(\vektor{0\\1}):=0,g(\vektor{2\\1}):=1[/mm]
>
> Sind die linear?
Prüfe es doch nach !!!!
FRED
>
> lg
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