lineare Abbildung f:R² -> R² < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie jeweils, ob es eine lineare Abbildung f : R² -> R² bzw.
g : R² -> R² mit
f(1;1) = (1;0), f(-1;1) = (-3;2) und f(0;1) = (-1;1)
bzw.
g(0;1) = (1;0), g(-1;2) = (2;1) und g(2;1) = 0;-2)
gibt. Für den Fall, dass es eine solche linearen Abbildung gibt, bestimmen Sie auch die der
linearen Abbildung zugeordnete Matrix. |
Irgendwie habe ich das Thema der lineare Abbildung noch nicht verstanden. Vielleicht gibt es hier ja jemanden der mir das ein wenig verständlicher machen kann, sodass ich die angegebene Aufgabe berechnen kann. Ich wäre für jeden kleinen Hinweis dankbar.
Wie kann man denn genau entscheiden ob es eine lineare Abbildung gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 27.11.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
hier musst du dir zwei Sachen klar machen:
1. Welche Eigenschaften haben lineare Abbildungen?
2. Wie sieht allg. eine lineare Funktion [mm]f:\IR^2\to\IR^2[/mm] aus?
Zu 2.
[mm]f(x,y)=(a_1*x+b_1*y,a_2*x+b_2*y)=\pmat{ a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 }*\vektor{x \\
y} [/mm]
Exisitiert jetzt eine lineare Abbildung f bzw. g mit den genannten Eigenschaften?
Im zweiten Fall
> g : R² -> R² mit
>
> g(0;1) = (1;0), g(-1;2) = (2;1) und g(2;1) = 0;-2)
kannst du eine lineare Abbildung mit Blick auf die Eigenschaften einer linearen Abbildung ausschließen. Angenommen, es gebe eine lineare Abbildung mit
> g(0;1) = (1;0), g(-1;2) = (2;1) und g(2;1) = (0;-2),
dann gilt mit den Eigenschaften einer linearen Abbildung
[mm]g(2;1)=g(\red{5}*0+\red{(-2)*}(-1);\red{5}*1+\red{(-2)}*2)[/mm]
[mm]=g(\red{5*}0;\red{5*}1)+g(\red{(-2)*}(-1);\red{(-2)*}2)=5*g(0;1)+(-2)*g(-1,2)[/mm]
[mm]=\red{5}*(1;0)+\red{(-2)}*(2;1)=(1,-2)[/mm]
Deutlicher wird es in der Schreibweise:
[mm]g\vektor{2 \\
1}=g\vektor{5*0+(-2)*(-1)\\
5*1+(-2)*2}=g\vektor{5*0\\
5*1}+g\vektor{(-2)*(-1)\\
(-2)*2}=5*g\vektor{0\\
1}-2*g\vektor{(-1)\\
2}=5*\vektor{1\\
0}-2*\vektor{2 \\
1}=\vektor{1 \\
-2}[/mm]
Laut Voraussetzung soll aber gelten g(2,1)=(0;-2).
Somit gibt es keine lineare Abbildung [mm]g:\IR^2\to\IR^2[/mm] mit
> g(0;1) = (1;0), g(-1;2) = (2;1) und g(2;1) = (0;-2).
Zu f solltest du eine finden...
Gruß
barsch
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