lineare Abbildung, idempotent < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:40 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | Es sei : V --> V eine lineare Abbildung mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta [/mm] * [mm] \delta [/mm] Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft
heißt Idempotent. Zeigen Sie:
Sind X, Y [mm] \subset [/mm] V Untervektorräume mit V = X [mm] \oplus [/mm] Y so existiert genau eine idempotente
Abbildung mit X = [mm] ker(\delta ) [/mm] und Y = [mm] Bild(\delta [/mm] ). |
also ich weiß nicht wirklich wie ich hier anfangen soll...
was ich mir bisher überlegt habe:
1) genau dann idempotent wenn dies für id - [mm] \delta [/mm] gilt
2) idempotent dann gilt: V = [mm] ker(\delta) +Bild(\delta)
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht weiter und wie ich das anwenden soll.. wäre echt dankbar für ein paar tipps
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei : V --> V eine lineare Abbildung mit [mm]\delta[/mm]
> = [mm]\delta[/mm] * [mm]\delta [/mm] Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft
> heißt Idempotent. Zeigen Sie:
>
> Sind X, Y [mm]\subset[/mm] V Untervektorräume mit V = X + Y so
> existiert genau eine idempotente
> Abbildung mit X = [mm]ker(\delta )[/mm] und Y = [mm]Bild(\delta[/mm] ).
> also ich weiß nicht wirklich wie ich hier anfangen
> soll...
Hallo,
haben die komischen Kästen einen tieferen Sinn?
Soll die Summe von X und Y direkt sein?
Zu zeigen ist jedenfalls die Existenz und Eindeutigkeit solch einer Abbildung [mm] \delta.
[/mm]
Definiere also zunächst eine Abbildung [mm] \delta, [/mm] von der Du dann zeigst, daß sie das das Geforderte tut.
Damit hast Du die Existenz.
Danach kannst Du über die Eindeutigkeit nachdenken, sie scheint mir abr kein echtes Problem zu sein.
Gruß v. Angela
> was ich mir bisher überlegt habe:
> 1) genau dann idempotent wenn dies für id - [mm]\delta[/mm] gilt
> 2) idempotent dann gilt: V = [mm]ker(\delta) +Bild(\delta)[/mm]
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> aber jetzt weiß ich nicht weiter und wie ich das anwenden
> soll.. wäre echt dankbar für ein paar tipps
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
ne sry die kästchen haben keinen tieferen sinn.. :)
ja die Summe soll direkt sein.
ja aber ich komm irgendwie nicht auf diese Abbildung [mm] \delta. [/mm] kannst mir da wohl noch einen tipp geben?
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> ne sry die kästchen haben keinen tieferen sinn.. :)
> ja die Summe soll direkt sein.
> ja aber ich komm irgendwie nicht auf diese Abbildung
> [mm]\delta.[/mm] kannst mir da wohl noch einen tipp geben?
Hallo,
X und Y sind UVRe, und wenn die Summe direkt ist, ergeben deren Basen zusammen eine Basis von V.
Lineare Abbildungen sind durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Weise also jedem dieser Basisvektoren in geschickter Weise eine Funktionswert zu.
Wenn nun X der Kern von [mm] \delta [/mm] sein soll und Y das Bild, dann drängt sich doch der eine Teil der Def. von [mm] \delta [/mm] förmlich auf, den anderen halte dann "sehr einfach" und weise anschließend nach, daß die Abbildung idempotent ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
sry aber irgendwie krieg ich es nicht hin... das mit der basis von v durch die direkte summe von x und y versteh ich ja aber ich weiß nicht was mir das jetzt da bringen soll.. kannst du mir wohl die def von [mm] \delta [/mm] vorgeben? vlt versteh ich dann was mir das bringen soll.. und komme dann weiter und krieg dann auch raus dass die idempotent ist..
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> sry aber irgendwie krieg ich es nicht hin... das mit der
> basis von v durch die direkte summe von x und y versteh ich
> ja aber ich weiß nicht was mir das jetzt da bringen soll..
> kannst du mir wohl die def von [mm]\delta[/mm] vorgeben? vlt versteh
> ich dann was mir das bringen soll.. und komme dann weiter
> und krieg dann auch raus dass die idempotent ist..
Hallo,
was ist denn eigentlich der Kern einer Abbildung?
Und wenn nun X der Kern der Abbildung [mm] \delta [/mm] sein soll, worauf müssen die Elemente von X dann abgebildet werden?
Du hast hier wenig Auswahl.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
der kern sind alle elemente die auf 0 abgebildet werden.
also muss X = {0} oder?
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> der kern sind alle elemente die auf 0 abgebildet werden.
Ja.
> also muss X = {0} oder?
???
X ist Dir vorgegeben, da kannst Du Dir nun nicht aussuchen, was das sein soll.
Aussuchen kannst Du Dir, was die zu definierende Abildung [mm] \delta [/mm] mit den Elementen aus X tun soll.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja die sollen auf 0 abgebildet werden...
aber was bringt mir das?
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> ja die sollen auf 0 abgebildet werden...
> aber was bringt mir das?
Du willst doch eine lineare Funktion definieren (dachte ich), deren
1.Kern =X und deren
2. Bild =Y ist, und die außerdem
3. idempotent ist.
Wenn Du die Abbildung so organisierst, daß die Elemente von X auf die Null abgebildet werden, hast Du immerhin schonmal Punkt 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
ja das versteh ich! aber wie organisier ich das denn jetzt?
wie muss diese Abbildung denn dann aussehen?
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> ja das versteh ich! aber wie organisier ich das denn
> jetzt?
> wie muss diese Abbildung denn dann aussehen?
Hallo,
das sollst Du doch rauskriegen!
Du hast ja jetzt schonmal erreicht, daß der kern der Abbildung =X ist.
Nun mußt Du noch zusehen, daß das Bild eben genau Y ist.
Ich hatte doch schon über die Basen geredet .
Du mußt nun jedem Basisvektor von Y einen Funktionswert zuweisen und dabei dran denken, daß [mm] \delta(Y) [/mm] wieder Y sein muß.
Ich hatte ja auch schon angedeutet, daß die Abbildung mit der Du Idempotenz erreichst eine "einfache" ist.
Die einfachste wäre die Nullabblidung, die wird#s ja wohl kaum sein, also ...
Jetzt mach mal und organisier und denk ein bißchen.
Und poste mit der nächsten Rückfrage das, was Du bisher getan und gedacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Achtzig |
vlt bin ich zu blöd oder es ist zu einfach dass ich es erkenne...
aber ich komme nur auf [mm] \delta [/mm] = y
wäre nett wenn du mir sagen könntest wie es jetzt wirklich aussehen muss.. vlt versteh ich es ja dann.. ich versteh nur dass ich eine Abbildung mit den bedingungen da aufstellen muss... hierbei wird jedes element aus x doch auf 0 abgebildet und jedes y bleibt y oder nicht?
achja und danke für deine mühe!!!!
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> vlt bin ich zu blöd oder es ist zu einfach dass ich es
> erkenne...
> aber ich komme nur auf [mm]\delta[/mm] = y
Hallo,
" [mm] \delta=y" [/mm] ist natürlich Quark, weil Du gar nicht verrätst, was y sein soll - aber wenn Du damit ausdrücken willst, daß jedes Element aus Y auf sich selbst abgebildet werden soll, dann ist das eine gute Idee.
Nun schreib das auf:
sei blalbla eine Basis von X und blibli eine Basis von Y.
Dann definierst Du [mm] \delta, [/mm] indem Du angibst, welchen Funktionswert Du jedem der Basiselemente zuweist,
und anschließend rechnest Du vor, daß diese Abbildung idempotent ist.
Damit hast Du dann die Existenz gezeigt.
Gruß v. Angela
> wäre nett wenn du mir sagen könntest wie es jetzt wirklich
> aussehen muss.. vlt versteh ich es ja dann.. ich versteh
> nur dass ich eine Abbildung mit den bedingungen da
> aufstellen muss... hierbei wird jedes element aus x doch
> auf 0 abgebildet und jedes y bleibt y oder nicht?
> achja und danke für deine mühe!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Jey89 |
Hallo,
ich beschäftige mich auch gerade mit der Aufgabe und bekomme es leider auch nicht hin. Ich habe verstanden was ich im allgemeinen tun soll. Die Abbildung die ich erstellen möchte soll die Elemente aus X auf 0 abbilden und Y wieder auf Y. D.h. also für Y muss es die Identität sein wenn ich da richtig liege!? Aber ich komme nicht klar was man jetzt mit den Basen genau tuen soll und wie man eine Funktionswert zuordnet?
Danke und liebe Grüße
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> Hallo,
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> ich beschäftige mich auch gerade mit der Aufgabe und
> bekomme es leider auch nicht hin. Ich habe verstanden was
> ich im allgemeinen tun soll. Die Abbildung die ich
> erstellen möchte soll die Elemente aus X auf 0 abbilden und
> Y wieder auf Y. D.h. also für Y muss es die Identität sein
> wenn ich da richtig liege!?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Aber ich komme nicht klar was
> man jetzt mit den Basen genau tuen soll und wie man eine
> Funktionswert zuordnet?
Dem vektor v einen Funktionswert zuordnen tut ma, indem man schreibt
[mm] \delta(v):= [/mm] ...
Da V die direkte Summe aus X und Y ist, kannst Du das aber auch so machen:
[mm] \delta(v):=y [/mm] mit v=x+y und [mm] x\in [/mm] X, [mm] y\in [/mm] Y.und linear ist und zeigst, daß die Abbildung idempotent ist.
Vielleicht ist Dir dieser Weg weniger umheimlich.
Wenn ich#s mir recht überlege, gefällt mir das so auch besser.
Gruß v. Angea
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 04.01.2009 | | Autor: | Jey89 |
Hallo,
danke erstmal für deinen Tipp das gefällt mir so wirklich besser. Irgendwie war mir das anderes nicht so wirklich klar.
Also jetzt habe ich aber immer noch das Problem das ich nicht genau weiß wie die Abbildung aussehen muss, eigentlich müsste ja das X die Nullabbildung sein und das Y die Identiät. Aber eigentlich sind X und Y ja schon vorgegeben!? ich glaube ich hab da jetzt ein sehr großes Verständnisproblem :( und leider weiß ich auch nicht wie ich die Eindeutigkeit ziegen soll für die Abbildung!?
Danke schon mal!
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> Also jetzt habe ich aber immer noch das Problem das ich
> nicht genau weiß wie die Abbildung aussehen muss,
Hallo,
das wundert mich aber, denn ich habe Dir die Abbildung doch schon hingeschrieben und auch gesagt, was noch zu zeigen ist.
> eigentlich müsste ja das X die Nullabbildung sein und das Y
> die Identiät. Aber eigentlich sind X und Y ja schon
> vorgegeben!?
Ja. Passend dazu und zu den sonstigen Vorgaben wurde nun die Abbildung definiert, und man muß zeigen, daß die definierte Abbildung alles tut, was von ihr verlangt wird.
Damit hat man dann die Existenz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Jey89 |
Danke schön noch mal!
Ich stand da irgendwie auf dem Schlauch ;)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Skrodde |
Hi,
ich habe noch Probleme mit der Eindeutigkeit. Zwar konnte ich jetzt, dank eurer Tipps zeigen, dass es eine idempotente Abbildung gibt, die X als Kern und Y als Bild hat, aber ich weiß leider nicht, wie ich zeigen soll, dass diese Abbildung eindeutig ist.
Ich hatte daran gedacht, anzunehmen, dass es eine weitere Abbildung ungleich meiner gefundenen gibt und diese Annahme dann zu einem Widerspruch zu führen, aber das klappt leider auch nicht wirklich.
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> Hi,
> ich habe noch Probleme mit der Eindeutigkeit. Zwar konnte
> ich jetzt, dank eurer Tipps zeigen, dass es eine
> idempotente Abbildung gibt, die X als Kern und Y als Bild
> hat, aber ich weiß leider nicht, wie ich zeigen soll, dass
> diese Abbildung eindeutig ist.
> Ich hatte daran gedacht, anzunehmen, dass es eine weitere
> Abbildung ungleich meiner gefundenen gibt und diese Annahme
> dann zu einem Widerspruch zu führen, aber das klappt leider
> auch nicht wirklich.
Hallo,
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Für die Eindeutigkeit zeige, daß aus [mm] \delta^2=\delta [/mm] und [mm] V=X\oplus [/mm] y mit [mm] X=kern\delta [/mm] und [mm] Y=bild\delta [/mm] folgt, daß
[mm] \delta(v)=y [/mm] mit v=x+y, [mm] x\in [/mm] X, [mm] y\in [/mm] Y ist.
das kannst Du so machen:
Sei [mm] v\in [/mm] V.
Dann kann man v eindeutig schreiben als v=x+y mit [mm] x\in [/mm] X, [mm] y\in [/mm] Y. (warum?).
Aus X=kern [mm] \delta, [/mm] folgt [mm] \delta(v)=\delta(x+y)=\delta(y).
[/mm]
Nun ist y ja nach Voraussetzung im Bild. Folgere hieraus nun, daß [mm] \delta(y)=y [/mm] gelten muß.
Gruß v. Angela
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