lineare Abbildungen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
verzweifle gerade an dieser Aufgabe!
Wie geht man denn an solch eine Aufgabe ran!?
In der linearen Algebra hatten wir ja die die lineare Abbildung definiert:
Eine Abbildung [mm] f:V\rightarrow [/mm] W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in [/mm] K die folgenden Bedingungen gelten:
f ist homogen: [mm] \lambda*f(x)=f(\lambda*x)
[/mm]
f ist additiv: f(x+y)=f(x)+f(y)
aber wie übertrage ich das jetzt in die Geometrie?
LG
Caro
Vielen Dank für eure Bemühungen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
Kann mir hier jemand helfen!?
LG
Caro
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
> verzweifle gerade an dieser Aufgabe!
> Wie geht man denn an solch eine Aufgabe ran!?
>
> In der linearen Algebra hatten wir ja die die lineare
> Abbildung definiert:
>
> Eine Abbildung [mm]f:V\rightarrow[/mm] W heißt lineare Abbildung,
> wenn für alle x,y [mm]\in[/mm] V und [mm]\lambda \in[/mm] K die folgenden
> Bedingungen gelten:
>
> f ist homogen: [mm]\lambda*f(x)=f(\lambda*x)[/mm]
>
> f ist additiv: f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> aber wie übertrage ich das jetzt in die Geometrie?
Hallo,
welche grundsätzlich verschiedenen Geraden hat man denn im [mm] \IR^2? [/mm] Die, die durch den Ursprung gehen, und die, die's nicht tun.
Nun prüfe, welche Geradenspiegelungen lineare Abbildungen sind.
Darstellungmatrix: nimm Dir eine zur Spiegelgeraden passende Basis, berechne die Bilder der Basisvektoren und der Spiegelung, und schreibe sie in Koordinaten bzgl. der gewählten Basis. Diese vektoren kommen in die Darstellungsmatrix.
Eigenvektoren: kannst Du mal sagen, was Eigenvektoren sind? Wodurch unterscheiden sie sich von vektoren, die keine Eigenvektoren sind?
Gruß v. Angela
>
> LG
> Caro
>
> Vielen Dank für eure Bemühungen.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
> Hallo,
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> welche grundsätzlich verschiedenen Geraden hat man denn im
> [mm]\IR^2?[/mm] Die, die durch den Ursprung gehen, und die, die's
> nicht tun.
Ja das ist klar!
>
> Nun prüfe, welche Geradenspiegelungen lineare Abbildungen
> sind.
>
Wie prüfe ich das denn? Wie ist der Ansatz!?
> Darstellungmatrix: nimm Dir eine zur Spiegelgeraden
> passende Basis, berechne die Bilder der Basisvektoren und
> der Spiegelung, und schreibe sie in Koordinaten bzgl. der
> gewählten Basis. Diese vektoren kommen in die
> Darstellungsmatrix.
>
> Eigenvektoren: kannst Du mal sagen, was Eigenvektoren sind?
> Wodurch unterscheiden sie sich von vektoren, die keine
> Eigenvektoren sind?
>
Das ist eine gute Frage! Was ist denn der Unterschied, bzw. das besondere an den Eigenvektoren?
> Gruß v. Angela
>
>
> >
LG
Caro
> >
Vielen Dank für eure Bemühungen.
> >
>
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> > Hallo,
> >
> > welche grundsätzlich verschiedenen Geraden hat man denn im
> > [mm]\IR^2?[/mm] Die, die durch den Ursprung gehen, und die, die's
> > nicht tun.
>
> Ja das ist klar!
> >
> > Nun prüfe, welche Geradenspiegelungen lineare Abbildungen
> > sind.
> >
> Wie prüfe ich das denn? Wie ist der Ansatz!?
Hallo,
wenn Du mal spaßeshalber den Ursprung spiegelst, dann wird Dir aufgehen, daß Du eine Sorte von Geradenspiegelungen sofort streichen kannst in Bezug auf Linearität.
Für die anderen mußt Du dann die Linearität nachrechnen.
Am besten überlegst Du Dir dazu erstmal, auf welchen Punkt der Punkt mit Ortsvektor [mm] vektor{x\\y} [/mm] abgebildet wird bei Spiegelung an einer Geraden mit der Gleichung g: [mm] \vec{x}:=\lambda{r_1\\r_2}.
[/mm]
> Das ist eine gute Frage! Was ist denn der Unterschied, bzw.
> das besondere an den Eigenvektoren?
Oh weh... Wie ist "Eigenvektor" denn definiert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
Okay, erstmal zum Eigenvektor:
...Ist f: [mm] V\rightarrow [/mm] V eine lineare Abbildung von V in sich selbst (Endomorphismus), so ist ein Vektor [mm] v\not=0 [/mm] , der durch f auf ein Vielfaches [mm] \lambda\in [/mm] K von sich selbst abgebildet wird ein Eigenvektor! Es gilt also [mm] f(v)=\lambda*v
[/mm]
Aber wie übertrage ich das jetzt in die Geometrie!? ICh glaube da habe ich meine Schwierigkeit!
LG
Caro
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> Okay, erstmal zum Eigenvektor:
>
> ...Ist f: [mm]V\rightarrow[/mm] V eine lineare Abbildung von V in
> sich selbst (Endomorphismus), so ist ein Vektor [mm]v\not=0[/mm] ,
> der durch f auf ein Vielfaches [mm]\lambda\in[/mm] K von sich selbst
> abgebildet wird ein Eigenvektor! Es gilt also
> [mm]f(v)=\lambda*v[/mm]
>
> Aber wie übertrage ich das jetzt in die Geometrie!? ICh
> glaube da habe ich meine Schwierigkeit!
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du mit Geometrie meinst. Die Anschauung?
Falls Du damit aber die Denk- und Sprechweise Deienr Vorlesung "Geometrie" meinst, so müßtest Du etwas mehr eigene Ansätze liefern, damit man weiß, wie dort gearbeitet wird.
Nachdem nun klar ist, was ein Eigenvektor ist, nämlich ein Vektor, der unter der Abbildung auf ein Vielfaches von sich abgebildet wird,
überlege Dir, daß die Eigenvektoren Dir die Geraden angeben, die unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet werden.
Welche Geraden sind denn das im Falle der Geradenspieglung?
Gruß v. Angela
Wenn Du nun Vektoren in diese Richtungen hast: auf das Wievielfache von sich selbst werden sie abgebildet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
Hallo,
naja, das Problem ist das wir diesen Teil in der Vorlesung noch nicht behandelt haben!
>
> wenn Du mal spaßeshalber den Ursprung spiegelst, dann wird
> Dir aufgehen, daß Du eine Sorte von Geradenspiegelungen
> sofort streichen kannst in Bezug auf Linearität.
Okay, das heißt also, ich kann alle Geraden die durch den Ursprung gehen schonmal streichen, weil hier die Linearität nicht erfüllt ist!?
>
> Für die anderen mußt Du dann die Linearität nachrechnen.
>
Wie mache ich das?
> Am besten überlegst Du Dir dazu erstmal, auf welchen Punkt
> der Punkt mit Ortsvektor [mm]vektor{x\\y}[/mm] abgebildet wird bei
> Spiegelung an einer Geraden mit der Gleichung g:
> [mm]\vec{x}:=\lambda{r_1\\r_2}.[/mm]
>
Was meinst du damit!?
>
LG
Caro
Vielen Dank für eure Bemühungen
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> > wenn Du mal spaßeshalber den Ursprung spiegelst, dann wird
> > Dir aufgehen, daß Du eine Sorte von Geradenspiegelungen
> > sofort streichen kannst in Bezug auf Linearität.
>
> Okay, das heißt also, ich kann alle Geraden die durch den
> Ursprung geen schonmal streichen, weil hier die Linearität
> nicht erfüllt ist!?Was muß bei linearen Ab
Hallo,
warum ist sie nicht erfüllt?
Was muß bei linearen Abbildungen für die Null gelten? (Und weshalb?)
> >
> > Für die anderen mußt Du dann die Linearität nachrechnen.
> >
> Wie mache ich das?
Durch Vor- bzw. Nachrechnen der Linearitätsbedingungen.
Dazu mußt Du allerdings erstmal eine Abbildungsvorschrift haben, einen Hinweis, wie man das machen könnte, habe ich Dir ja schon gegeben.
>
> > Am besten überlegst Du Dir dazu erstmal, auf welchen Punkt
> > der Punkt mit Ortsvektor [mm]vektor{x\\y}[/mm] abgebildet wird bei
> > Spiegelung an einer Geraden mit der Gleichung g:
> > [mm]\vec{x}:=\lambda\vektor{r_1\\r_2}.[/mm]
> >
> Was meinst du damit!?
Ich könnte das auch sehr kurz formulieren: stell die Abbildungsvorschrift für die Geradengleichung auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:23 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
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> > > wenn Du mal spaßeshalber den Ursprung spiegelst, dann wird
> > > Dir aufgehen, daß Du eine Sorte von Geradenspiegelungen
> > > sofort streichen kannst in Bezug auf Linearität.
> >
> > Okay, das heißt also, ich kann alle Geraden die durch den
> > Ursprung geen schonmal streichen, weil hier die Linearität
> > nicht erfüllt ist!?Was muß bei linearen Ab
>
> Hallo,
>
> warum ist sie nicht erfüllt?
> Was muß bei linearen Abbildungen für die Null gelten? (Und
> weshalb?)
>
> > >
> > > Für die anderen mußt Du dann die Linearität nachrechnen.
> > >
> > Wie mache ich das?
>
> Durch Vor- bzw. Nachrechnen der Linearitätsbedingungen.
>
> Dazu mußt Du allerdings erstmal eine Abbildungsvorschrift
> haben, einen Hinweis, wie man das machen könnte, habe ich
> Dir ja schon gegeben.
>
> >
> > > Am besten überlegst Du Dir dazu erstmal, auf welchen Punkt
> > > der Punkt mit Ortsvektor [mm]vektor{x\\y}[/mm] abgebildet wird bei
> > > Spiegelung an einer Geraden mit der Gleichung g:
> > > [mm]\vec{x}:=\lambda{r_1\\r_2}.[/mm]
> > >
Könntest du mir nur nochmal die Geraden gleichung erklären!?
Was ist [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2?
[/mm]
> > Was meinst du damit!?
>
> Ich könnte das auch sehr kurz formulieren: stell die
> Abbildungsvorschrift für die Geradengleichung auf.
>
> Gruß v. Angela
>
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Oh weh,
das sollte [mm] \vektor{r_1\\r_2} [/mm] heißen, also der Richtungsvektor sein.
Entschuldigung!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 03.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
mh, also habe mir jetzt ein paar Skizzen gemacht, aber damit komme ich auch nicht weiter! Mir ist auch klar, was du meinst, nur ich komm nciht drauf!
Gibts da nen Trick!?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch nur (1,0) und (0,1) abbilden.
wenn du an der Geraden durch 0 mit dem Einheitsrichtungsvektor
[mm] (cos\alpha,sin(alpha) [/mm] spiegelst drehst du doch einfach (1.0) auf [mm] (cos2\alpha,sin2\alpha) [/mm] und (0,1)auf den dazu senkrechten, [mm] (sin(2\alpha),-cos(2\alpha))
[/mm]
die kannst du aus [mm] (cos\alpha,sin(alpha) [/mm] ausrechnen.
trig,. Formeln sin2x=...usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Caro_89 |
> Hallo
> du musst doch nur (1,0) und (0,1) abbilden.
> wenn du an der Geraden durch 0 mit dem
> Einheitsrichtungsvektor
> [mm](cos\alpha,sin(alpha)[/mm] spiegelst drehst du doch einfach
> (1.0) auf [mm](cos2\alpha,sin2\alpha)[/mm] und (0,1)auf den dazu
> senkrechten, [mm](sin(2\alpha),-cos(2\alpha))[/mm]
> die kannst du aus [mm](cos\alpha,sin(alpha)[/mm] ausrechnen.
> trig,. Formeln sin2x=...usw.
> Gruss leduart
Also jetzt verstehe ich gar nichts mehr! Mit Sinus und Cosinus hab ich so noch nie gearbeitet!
Okay, also nochmal ganz kurz! Wir betrachten bei dieser aufgabe ja nur Alle Geraden die durch den Ursprung gehen! Richtig?
Da sonst die Eigenschaft der Linearität F(0)=0 nicht erfüllt ist!
Gibt es nicht noch eine andere Variante!?
LG
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> Also jetzt verstehe ich gar nichts mehr! Mit Sinus und
> Cosinus hab ich so noch nie gearbeitet!
Hallo,
jetzt verstehe ich nichts mehr: in Deinem Profil steht "Mathestudent im Grundstudium", und selbst, wenn es sich hierbei um das Grund- oder Sonderschullehramt handelt, wirst Du ja irgendwann mal die 10.Klasse einer allgemeinbildenden Schule besucht haben.
Die Tatsache, daß in der Aufgabenstellung mit den Matrizen zart auf die Drehmatrizen hingewiesen wird, spricht dafür, daß jedenfalls Deine Mathechefs sich vorstellen, daß Du was mit sin und cos machst. Oder wie waren Eure Drehmatrizen?
> Okay, also nochmal ganz kurz! Wir betrachten bei dieser
> aufgabe ja nur Alle Geraden die durch den Ursprung gehen!
> Richtig?
> Da sonst die Eigenschaft der Linearität F(0)=0 nicht
> erfüllt ist!
Ja, genau.
>
> Gibt es nicht noch eine andere Variante!?
Du kannst den Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] halt per Handrechnung an derGeraden mit der Gleichung [mm] \vec{x}=\lambda{r_1\\r_2} [/mm] spiegeln:
Lotgerade durch [mm] \vektor{x\\y} [/mm] aufstellen, Lotfußpunkt berechnen - an einer Skizze wirst Du sehen, was Du weiter tun mußt.
Gruß v. Angela
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