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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear ?
[mm] f_{1}= \IR^{n} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] , [mm] (x_{1},...,x_{n})\mapsto x_{1} +...+x_{n}
[/mm]
[mm] f_{2}= \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] , (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x*y
[mm] f_{3}= \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] , (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x+1,2y, x+y)
Bestimmen Sie gegebenfalls die Dimension des Bildraumes und des Kerns und geben sie eine Basis des Kerns an. |
Ich prüfe (i) f(x+y) = f(x) + f(y)
(ii) f(a*x) = a + f(x)
Schon bei der addition kam bei mir raus dass [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] keine lineare Abbildungen sind.
Ich weiß aber nicht wie ich mit [mm] f_{1} [/mm] da genau verfahren soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Fr 01.01.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo Ayame,
bei [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] hast du recht.
Bei [mm] f_1 [/mm] mußt du dir überlegen was das Bild von x+y ergibt und wie es mit dem Bild von x bzw. y zusammenhängt.
Vielleicht überlegst du dir das einfach für den Fall n=2.
Falls du rausbekommst, dass [mm] f_1 [/mm] linear ist, stellt sich noch die Frage nach Kern und Bild dieser Abbildung. Kommst du damit zurecht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ja :) jetzt hab ichs.
Jetzt muss ich ja die dimension des bildraumes und des kerns angeben sowie eine basis des kerns.
also ich hab da die dim des bildraumes maximal 1 (ist ja der [mm] \IR [/mm] -VR)
und ich habe die formel :
f : X --> Y dann Rgf + def f = dimX
also ist dann def f = dimKerf also ist die dimension des Kerns gleich der dimension von x minus des Rangs von f.
also n - 1 = dim Ker
Oder ?
Aber ich weiß nicht wie ich jetzt eine Basis für den Kern konstruieren soll ?
Einfach mit der kanonischen basis ?
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> Ja :) jetzt hab ichs.
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> Jetzt muss ich ja die dimension des bildraumes und des
> kerns angeben sowie eine basis des kerns.
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> also ich hab da die dim des bildraumes maximal 1 (ist ja
> der [mm]\IR[/mm] -VR)
> und ich habe die formel :
>
> f : X --> Y dann Rgf + def f = dimX
>
> also ist dann def f = dimKerf also ist die dimension des
> Kerns gleich der dimension von x minus des Rangs von f.
> also n - 1 = dim Ker
>
> Oder ?
>
> Aber ich weiß nicht wie ich jetzt eine Basis für den Kern
> konstruieren soll ?
> Einfach mit der kanonischen basis ?
Hallo Ayame,
Für eine Basis des Kerns brauchst du n-1 unabhängige
Vektoren, welche der Gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i=0 [/mm] genügen.
Nehmen wir mal als Beispiel den Fall n=4. Dann kann
man z.B. die drei Vektoren
(1,1,1,-3)
(1,1,-3,1)
(1,-3,1,1)
nehmen. Sie erfüllen offensichtlich die Gleichung. Zeige,
dass sie wirklich unabhängig voneinander sind.
Noch etwas einfacher geht es vielleicht mit diesen Vektoren:
(1,-1,0,0)
(0,1,-1,0)
(0,0,1,-1)
LG Al-Chw.
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