lineare Abbildungen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
(a) [mm] T_{1} [/mm] : [mm] \IR^{2} \in (x_{1}, x_{2}) \mapsto [/mm] (1 + [mm] x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2}, [/mm] |
Ich weiß einfach nicht wie ich zeige, ob die Abbildung linear ist oder nicht.
Unsere Defintion : "Seien V und W K-vektorräume. Eine Abbildung [mm] L:V\to [/mm] W heißt linear, falls für alle x,y [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in [/mm] K gilt :
1. L(x+y) = L(x) + L(y)
2. [mm] L(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] L(x)
Ich glaube, dass ich die Aussage verstehe, aber ich weiß nicht wie ich damit zeige ob die Abbildung linear ist.
Danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo lisa2802 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
> (a) [mm]T_{1}[/mm] : [mm]\IR^{2} \in (x_{1}, x_{2}) \mapsto[/mm] (1 + [mm]x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2},[/mm]
>
> Ich weiß einfach nicht wie ich zeige, ob die Abbildung
> linear ist oder nicht.
>
> Unsere Defintion : "Seien V und W K-vektorräume. Eine
> Abbildung [mm]L:V\to[/mm] W heißt linear, falls für alle x,y [mm]\in[/mm] V
> und [mm]\lambda \in[/mm] K gilt :
>
> 1. L(x+y) = L(x) + L(y)
> 2. [mm]L(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] L(x)
Das ist schonmal gut!
>
> Ich glaube, dass ich die Aussage verstehe, aber ich weiß
> nicht wie ich damit zeige ob die Abbildung linear ist.
Na, wenn du meinst, dass die Abbildung [mm]T_1[/mm] linear ist, musst du nachrechnen, ob deine Abbildung [mm]T_1[/mm] die Bedingungen aus der Def. erfüllt:
1. Nimm dir zwei bel. Vektoren [mm]x=(x_1,x_2)^t[/mm] und [mm]y=(y_1,y_2)^t\in\IR^2[/mm] her und berechne einerseits [mm]T_1(x+y)=T_1((x_1+y_1,x_2+y_2)^t)=...[/mm]
Und rechne nach (und hier vor), dass das dasselbe ist wie [mm]T_1((x_1,x_2)^t)+T_1((y_1,y_2)^t)[/mm]
Ganz analog für 2.
Nimm dir [mm]\lambda\in\IR[/mm] beliebig und [mm]x=(x_1,x_2)^t\in\IR^2[/mm] bel. her, berechne [mm]T_1(\lambda\cdot{}(x_1,x_2)^t)[/mm] und [mm]\lambda\cdot{}T_1((x_y,x_2)^t)[/mm] und schaue, ob beides gleich ist.
Andererseits schaut [mm]T_1[/mm] nicht so sehr linear aus, so dass du dich besser auf die Suche nach einem Gegenbsp. etwa zu 1. machst.
PS: Hattet ihr dies: "eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor des Ausgangsraumes auf den Nullvektor des Zielraumes ab"?
Damit ist es schnell erledigt ...
>
> Danke im vorraus
Nanana! Das heißt "voraus" mit einem "r" !!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
"1. Nimm dir zwei bel. Vektoren $ [mm] x=(x_1,x_2)^t [/mm] $ und $ [mm] y=(y_1,y_2)^t\in\IR^2 [/mm] $ her und berechne einerseits
$ [mm] T_1(x+y)=T_1((x_1+y_1,x_2+y_2)^t)=... [/mm] $ Und rechne nach (und hier vor), dass das dasselbe ist wie $ [mm] T_1((x_1,x_2)^t)+T_1((y_1,y_2)^t) [/mm] $"
genau da liegt mein problem. wie macht man das bzw wie zeigt man das??? :(((((
Hab da heute schon mit einem Mitstudenten drüber gesprochen, allerdings konnte er mir auch nicht helfen...
Ich kann ja auch kein Gegenbeispiel suchen wenn ich überhaupt nicht weiß wie das aussieht wenn es linear ist, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
PS: Ich weiß, dass ich das zeigen muss, verstehe nur nicht wie. Und das würde ich gerne verstehen, damit ich die anderen Teilaufgaben hoffentlich selbstständig lösen kann.
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moin lisa,
Was an dieser Stelle ganz wichtig ist, ist dass du dich auf das beschränkst was gegeben ist.
Für Linearität sind zwei Bedingungen zu erfüllen, die hast du ja ganz richtig genannt.
Lineare Abbildungen gibt es in allen möglichen Formen, teils einfach, teils kompliziert, die einzige Gemeinsamkeit ist, dass sie eben diese Bedingungen erfüllen.
Nun aber genug lehrreich geschwafelt und mal ein Beispiel für dich:
$f: [mm] \IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{y \\ x}$
[/mm]
ist linear.
Beweis:
Seien $x = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] und $y = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2} \in \IR^2$ [/mm] sowie $r [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig.
Dann gilt:
$f(x+y) = [mm] f\left( \vektor{x_1 \\ x_2} + \vektor{y_1 \\ y_2} \right) [/mm] = [mm] f\left( \vektor{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2} \right) [/mm] = [mm] \green{\vektor{x_2 + y_2 \\ x_1 + y_1}}$
[/mm]
auf der anderen Seite gilt aber:
$f(x)+f(y) = [mm] f\left( \vektor{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] + [mm] f\left( \vektor{y_1 \\ y_2} \right) [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ x_1} [/mm] + [mm] \vektor{y_2 \\ y_1} [/mm] = [mm] \green{\vektor{x_2 + y_2 \\ x_1 + y_1}}$
[/mm]
Zu guter Letzt gilt noch:
$f(r*x) = [mm] f\left(\vektor{r*x_1 \\ r*x_2}\right) [/mm] = [mm] \blue{\vektor{r*x_2 \\ r*x_1}}$
[/mm]
sowie:
$r*f(x) = [mm] r*f\left(\vektor{x_1 \\ x_2}\right) [/mm] = [mm] r*\vektor{x_2 \\ x_1} [/mm] = [mm] \blue{\vektor{r*x_2 \\ r*x_1}}$
[/mm]
Da $x,y,r$ absolut beliebig waren, ich also keine Einschränkungen an diese gestellt habe, sind damit die geforderten beiden Aussagen gezeigt und $f$ ist tatsächlich linear.
So sieht also im Allgemeinen ein Beweis für Linearität aus.
Für deinen speziellen Fall hat schachuzipus ja bereits die Suche nach einem Gegenbeispiel empfohlen.
Versuche hier ein möglichst leichtes Beispiel (am besten nur 0 oder 1 als Einträge in den Vektoren) zu finden, sodass eine der beiden Linearitätsbedingungen verletzt ist.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Danke für dieses Verständliche Beispiel. Hab es gerade selber mal durchgerechnet mit verschieden Zahlen zum Verständnis.
ABER ich hab trotzdem probleme mit meiner Aufgabe.
setze ich [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] x_{2}= \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
(geht das so???)
dann prüfe ich damit ob die beiden Aussagen von oben wahr sind.
so und dann kommt mein problem
[mm] f(x_{1}+x_{2})=f(\vektor{0 \\ 1}+\vektor{1 \\ 0})= f(\vektor{1 \\ 1})= [/mm] ...
jetzt muss ich ja die Abbildungsvorschrift darauf anwenden aber irgendwie weiß ich nicht wie...
das selbe problem habe ich dementsprechen auch bei [mm] f(x_{1})+f(x_{2})
[/mm]
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Deine Abbildungsvorschrift sagt dir:
[mm] $f\left( \vektor{x_1 \\ x_2} \right) [/mm] = [mm] \vektor{x_1 + 1 \\ x_2}$
[/mm]
Nun musst du hier deinen konkreten Vektor einsetzen:
[mm] $f\left( \vektor{1 \\ 1} \right) [/mm] = [mm] \vektor{1 + 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}$
[/mm]
Du kannst das ganze praktisch wie eine klassische Funktion betrachten, nur dass diese zwei "Koordinaten" als Eingabe hat und zwei wieder ausgibt.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
DANKE :)
ich hab's auch so gemacht, dachte nur es wäre falsch.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | | [mm] T_{2}: \IR^{3} \in [/mm] (x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] (2x+z,-y) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] $ |
okay ich bin doch doof!
x= [mm] \vektor{ x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}}
[/mm]
y= [mm] \vektor{ y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}}
[/mm]
z= [mm] \vektor{ z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}}
[/mm]
f(x+y+z)= [mm] f(\pmat{ x_{1}+y_{1}+z_{1} \\ x_{2}+y_{2}+z_{2} \\ x_{3}+y_{3}+z_{3} })
[/mm]
soweit richtig oder? so und jetzt mal wieder die abbildungsvorschrift! ich weiß nicht wie ichs anwenden muss.
oder ist das ganz simpel = [mm] (\pmat{ 2x_{1}+z_{1} & -y_{1} \\ 2x_{2}+z_{2} & -y_{2} \\ 2x_{3}+z_{3} & -y_{3} } [/mm] )
und jetzt nochmal was allgemeines : zeige ich, dass die Abbildung linear ist mit x,z,y oder mit konkreten zahlen? oder ist das egal?
danke!!! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]T_{2}: \IR^{3} \in[/mm] (x, y, z) [mm]\mapsto[/mm] (2x+z,-y) [mm]\in \IR^{2},[/mm]
besser sollte da [mm] $T_2: \IR^3 \blue{\ni} [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (2x+z,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] stehen!
> $
> okay ich bin doch doof!
Nein!
> x= [mm]\vektor{ x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}}[/mm]
> y= [mm]\vektor{ y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}}[/mm]
>
> z= [mm]\vektor{ z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}}[/mm]
>
> f(x+y+z)= [mm]f(\pmat{ x_{1}+y_{1}+z_{1} \\ x_{2}+y_{2}+z_{2} \\ x_{3}+y_{3}+z_{3} })[/mm]
>
> soweit richtig oder?
Ja. Nur: Warum nimmst Du nun 3 Vektoren???
> so und jetzt mal wieder die
> abbildungsvorschrift! ich weiß nicht wie ichs anwenden
> muss.
>
> oder ist das ganz simpel = [mm](\pmat{ 2x_{1}+z_{1} & -y_{1} \\ 2x_{2}+z_{2} & -y_{2} \\ 2x_{3}+z_{3} & -y_{3} }[/mm]
> )
Nicht ganz! (Das kann auch nicht stimmen, weil doch Deine Abbildung als Zielmenge den [mm] $\IR^2$ [/mm] hat!)
Bei Dir wäre mit [mm] $r:=x_1+y_1+z_1\,,$ $s:=x_2+y_2+z_2$ [/mm] und [mm] $t:=x_3+y_3+z_3$ [/mm] dann doch
[mm] $$f(\vektor{r\\s\\t})=\vektor{2*r+t\\-s}\,.$$
[/mm]
"Resubstituiere" mal die [mm] $r,\;s,\;t\,.$ [/mm] Dann siehst Du sicher, was Du falsch gemacht hast (und wirst Dich sicher fragen, wie Du auf so ein komisches Resultat überhaupt gekommen bist; oder?).
> und jetzt nochmal was allgemeines : zeige ich, dass die
> Abbildung linear ist mit x,z,y oder mit konkreten zahlen?
> oder ist das egal?
Das ist i.a. nicht egal: Wenn Du zeigen willst, dass die Abbildung linear ist, musst Du " irgendwelche $x,y [mm] \in \IR^3$ [/mm] (und "irgendein [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] ") " hernehmen (also nicht konkretisieren) und die entsprechenden Eigenschaften nachweisen. Wenn Du nachweisen willst/wirst/sollst, dass sie nicht linear ist, reicht es, dass "für "einen Satz" spezielle(r) konkrete(r) [mm] $\IR^3$-Vektoren" [/mm] nachzuweisen (bzw. für ein gewisses konkretes [mm] $\lambda$ [/mm] und "passendem" $x [mm] \in \IR^3$). [/mm]
Was Schachuzipus schon gesagt hat:
Wenn Du beweisen willst, dass eine Abbildung nicht linear ist, prüfe direkt schonmal, ob die Null auf die Null abgebildet wird. Tut sie es nicht, so ist die Abbildung mit Sicherheit NICHT linear (wenn sie es tut, muss sie deswegen aber keinesfalls linear sein - die Bedingung ist nur notwendig für die Linearität).
Jetzt zu oben:
Du hast schon $x,y [mm] \in \IR^3$ [/mm] entsprechend dargestellt. Wir prüfen nun zunächst mal, ob [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ [/mm] gilt. Strategie dazu wurde schon vorgestellt:
1.) Berechne zunächst [mm] $x+y\,$ [/mm] und mit diesem Ergebnis dann [mm] $f(x+y)\,.$
[/mm]
2.) Berechne [mm] $f(x)\,,$ [/mm] berechne [mm] $f(y)\,$ [/mm] und dann [mm] $f(x)+f(y)\,.$
[/mm]
3.) Vergleiche die beiden Ergebnisse.
Also:
1.) Es gilt
[mm] $$x+y=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\,.$$
[/mm]
Damit folgt
[mm] $$f(x+y)=f(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3})=\vektor{2*(x_1+y_1)+(x_3+y_3)\\-(x_2+y_2)}\,.$$
[/mm]
Bekommst Du nun die Schritte 2.) und 3.) hin?
Beachte allerdings, dass Du auch noch
[mm] $$f(\lambda*x)=\lambda*f(x)$$
[/mm]
zu prüfen hast.
Dazu
1'.) Es ist [mm] $\lambda*x=\lambda*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3}\,.$ [/mm] Damit berechne
[mm] $$f(\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3})\,.$$
[/mm]
2'.) Berechne zunächst [mm] $f(x)\,,$ [/mm] und damit dann [mm] $\lambda*f(x)\,.$
[/mm]
3'.) Vergleiche die Ergebnisse aus 2'.) und 3'.).
Bekommst Du das auch noch hin?
P.S.:
Eigentlich sollten wir oben besser [mm] $T_2$ [/mm] anstelle von [mm] $f\,$ [/mm] schreiben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo,
>
> > [mm]T_{2}: \IR^{3} \in[/mm] (x, y, z) [mm]\mapsto[/mm] (2x+z,-y) [mm]\in \IR^{2},[/mm]
>
> besser sollte da [mm]T_2: \IR^3 \blue{\ni} (x,y,z) \mapsto (2x+z,y) \in \IR^2[/mm]
> stehen!
so stehts auch in der Aufgabe konnte es nur hier nicht darstellen.
>
> > $
> > okay ich bin doch doof!
>
> Nein!
>
> > x= [mm]\vektor{ x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}}[/mm]
> > y= [mm]\vektor{ y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}}[/mm]
>
> >
> > z= [mm]\vektor{ z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}}[/mm]
> >
> > f(x+y+z)= [mm]f(\pmat{ x_{1}+y_{1}+z_{1} \\ x_{2}+y_{2}+z_{2} \\ x_{3}+y_{3}+z_{3} })[/mm]
>
> >
> > soweit richtig oder?
>
> Ja. Nur: Warum nimmst Du nun 3 Vektoren???
Muss man das nicht? weil ja der ausgangsraum [mm] \IR^{3} [/mm] ist?
>
> > so und jetzt mal wieder die
> > abbildungsvorschrift! ich weiß nicht wie ichs anwenden
> > muss.
> >
> > oder ist das ganz simpel = [mm](\pmat{ 2x_{1}+z_{1} & -y_{1} \\ 2x_{2}+z_{2} & -y_{2} \\ 2x_{3}+z_{3} & -y_{3} }[/mm]
> > )
>
> Nicht ganz! (Das kann auch nicht stimmen, weil doch Deine
> Abbildung als Zielmenge den [mm]\IR^2[/mm] hat!)
>
> Bei Dir wäre mit [mm]r:=x_1+y_1+z_1\,,[/mm] [mm]s:=x_2+y_2+z_2[/mm] und
> [mm]t:=x_3+y_3+z_3[/mm] dann doch
> [mm]f(\vektor{r\\s\\t})=\vektor{2*r+t\\-s}\,.[/mm]
>
> "Resubstituiere" mal die [mm]r,\;s,\;t\,.[/mm] Dann siehst Du
> sicher, was Du falsch gemacht hast (und wirst Dich sicher
> fragen, wie Du auf so ein komisches Resultat überhaupt
> gekommen bist; oder?).
stimmt...
>
> > und jetzt nochmal was allgemeines : zeige ich, dass die
> > Abbildung linear ist mit x,z,y oder mit konkreten zahlen?
> > oder ist das egal?
>
> Das ist i.a. nicht egal: Wenn Du zeigen willst, dass die
> Abbildung linear ist, musst Du " irgendwelche [mm]x,y \in \IR^3[/mm]
> (und "irgendein [mm]\lambda \in \IR[/mm] ") " hernehmen (also nicht
> konkretisieren) und die entsprechenden Eigenschaften
> nachweisen. Wenn Du nachweisen willst/wirst/sollst, dass
> sie nicht linear ist, reicht es, dass "für "einen Satz"
> spezielle(r) konkrete(r) [mm]\IR^3[/mm]-Vektoren" nachzuweisen (bzw.
> für ein gewisses konkretes [mm]\lambda[/mm] und "passendem" [mm]x \in \IR^3[/mm]).
>
> Was Schachuzipus schon gesagt hat:
> Wenn Du beweisen willst, dass eine Abbildung nicht linear
> ist, prüfe direkt schonmal, ob die Null auf die Null
> abgebildet wird. Tut sie es nicht, so ist die Abbildung mit
> Sicherheit NICHT linear (wenn sie es tut, muss sie deswegen
> aber keinesfalls linear sein - die Bedingung ist nur
> notwendig für die Linearität).
Ich hab vorhin mal im Skript und in meinen Unterlagen gesucht und nichts dazu gefunden....
>
> Jetzt zu oben:
> Du hast schon [mm]x,y \in \IR^3[/mm] entsprechend dargestellt. Wir
> prüfen nun zunächst mal, ob [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)\,[/mm] gilt.
> Strategie dazu wurde schon vorgestellt:
> 1.) Berechne zunächst [mm]x+y\,[/mm] und mit diesem Ergebnis dann
> [mm]f(x+y)\,.[/mm]
> 2.) Berechne [mm]f(x)\,,[/mm] berechne [mm]f(y)\,[/mm] und dann
> [mm]f(x)+f(y)\,.[/mm]
> 3.) Vergleiche die beiden Ergebnisse.
>
Das Verfahren an sich kann ich nachvollziehen!
> Also:
> 1.) Es gilt
> [mm]x+y=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\,.[/mm]
>
> Damit folgt
>
> [mm]f(x+y)=f(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3})=\vektor{2*(x_1+y_1)+(x_3+y_3)\\-(x_2+y_2)}\,.[/mm]
okay also ich brauche nur 2 der 3 zu betrachten? was ist mit z??? Bei dir ist jetzt quasi [mm] r=x_1+y_1 [/mm] , [mm] s=x_2+y_2 [/mm] uns [mm] t=x_3+y_3 [/mm] ?? r,s und t entsprechen ja nicht den ursprünglichen x,y,z deswegen verwirrt mich das und ich dachte dass ich das [mm] x_1 [/mm] & co quasi nur in die vorschrift einsetzen muss (daher kam ich auf mein schwachsinniges ergebnis oben).. ohje...da hab ich ne lücke...
>
okay wenn ich nur x&y nehme bekomm ich das auch so hin! und [mm] T_{2} [/mm] ist lineare Abbildung. aber wie oben schon erwähnt was ist mit z?????
> Bekommst Du nun die Schritte 2.) und 3.) hin?
wenn 1 geklärt ist schon :)
>
> Beachte allerdings, dass Du auch noch
> [mm]f(\lambda*x)=\lambda*f(x)[/mm]
> zu prüfen hast.
>
> Dazu
>
> 1'.) Es ist
> [mm]\lambda*x=\lambda*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3}\,.[/mm]
> Damit berechne
> [mm]f(\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3})\,.[/mm]
> 2'.) Berechne zunächst [mm]f(x)\,,[/mm] und damit dann
> [mm]\lambda*f(x)\,.[/mm]
> 3'.) Vergleiche die Ergebnisse aus 2'.) und 3'.).
>
> Bekommst Du das auch noch hin?
>
ich hoffe
> P.S.:
> Eigentlich sollten wir oben besser [mm]T_2[/mm] anstelle von [mm]f\,[/mm]
> schreiben!
stimmt. danke!!!!1
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vorweg: Um die alte "Inkonsistenz" beizubehalten, werde ich hier immer [mm] $f\,$ [/mm] anstelle von [mm] $T_2$ [/mm] schreiben 
> > Hallo,
> >
> > > [mm]T_{2}: \IR^{3} \in[/mm] (x, y, z) [mm]\mapsto[/mm] (2x+z,-y) [mm]\in \IR^{2},[/mm]
> >
> > besser sollte da [mm]T_2: \IR^3 \blue{\ni} (x,y,z) \mapsto (2x+z,y) \in \IR^2[/mm]
> > stehen!
> so stehts auch in der Aufgabe konnte es nur hier nicht
> darstellen.
> >
> > > $
> > > okay ich bin doch doof!
> >
> > Nein!
> >
> > > x= [mm]\vektor{ x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}}[/mm]
> > > y= [mm]\vektor{ y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > z= [mm]\vektor{ z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}}[/mm]
> > >
> > > f(x+y+z)= [mm]f(\pmat{ x_{1}+y_{1}+z_{1} \\ x_{2}+y_{2}+z_{2} \\ x_{3}+y_{3}+z_{3} })[/mm]
>
> >
> > >
> > > soweit richtig oder?
> >
> > Ja. Nur: Warum nimmst Du nun 3 Vektoren???
>
> Muss man das nicht? weil ja der ausgangsraum [mm]\IR^{3}[/mm] ist?
Jeder der BEIDEN Vektoren hat [mm] $3\,$ [/mm] KOMPONENTEN, das sind dann aber doch nicht 3 Vektoren, sondern [mm] $2\,$ [/mm] Vektoren - insgesamt haben sie dann [mm] $2*3=6\,$ [/mm] "Komponenteneinträge"!!! Pass' auf, was Du zählst: Zählst Du die Vektoren, oder deren Komponenten? Da kommst Du wohl ständig durcheinander!
Also:
Ein $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] hat die Darstellung [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\,,$ [/mm] wobei [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR\,.$ [/mm] Aber der Vektor [mm] $x\,$ [/mm] ist ein einzelnes Element des [mm] $\IR^3$!!!
[/mm]
> > > so und jetzt mal wieder die
> > > abbildungsvorschrift! ich weiß nicht wie ichs anwenden
> > > muss.
> > >
> > > oder ist das ganz simpel = [mm](\pmat{ 2x_{1}+z_{1} & -y_{1} \\ 2x_{2}+z_{2} & -y_{2} \\ 2x_{3}+z_{3} & -y_{3} }[/mm]
> > > )
> >
> > Nicht ganz! (Das kann auch nicht stimmen, weil doch Deine
> > Abbildung als Zielmenge den [mm]\IR^2[/mm] hat!)
>
> >
> > Bei Dir wäre mit [mm]r:=x_1+y_1+z_1\,,[/mm] [mm]s:=x_2+y_2+z_2[/mm] und
> > [mm]t:=x_3+y_3+z_3[/mm] dann doch
> > [mm]f(\vektor{r\\s\\t})=\vektor{2*r+t\\-s}\,.[/mm]
> >
> > "Resubstituiere" mal die [mm]r,\;s,\;t\,.[/mm] Dann siehst Du
> > sicher, was Du falsch gemacht hast (und wirst Dich sicher
> > fragen, wie Du auf so ein komisches Resultat überhaupt
> > gekommen bist; oder?).
>
> stimmt...
> >
> > > und jetzt nochmal was allgemeines : zeige ich, dass die
> > > Abbildung linear ist mit x,z,y oder mit konkreten zahlen?
> > > oder ist das egal?
> >
> > Das ist i.a. nicht egal: Wenn Du zeigen willst, dass die
> > Abbildung linear ist, musst Du " irgendwelche [mm]x,y \in \IR^3[/mm]
> > (und "irgendein [mm]\lambda \in \IR[/mm] ") " hernehmen (also nicht
> > konkretisieren) und die entsprechenden Eigenschaften
> > nachweisen. Wenn Du nachweisen willst/wirst/sollst, dass
> > sie nicht linear ist, reicht es, dass "für "einen Satz"
> > spezielle(r) konkrete(r) [mm]\IR^3[/mm]-Vektoren" nachzuweisen (bzw.
> > für ein gewisses konkretes [mm]\lambda[/mm] und "passendem" [mm]x \in \IR^3[/mm]).
> >
> > Was Schachuzipus schon gesagt hat:
> > Wenn Du beweisen willst, dass eine Abbildung nicht
> linear
> > ist, prüfe direkt schonmal, ob die Null auf die Null
> > abgebildet wird. Tut sie es nicht, so ist die Abbildung mit
> > Sicherheit NICHT linear (wenn sie es tut, muss sie deswegen
> > aber keinesfalls linear sein - die Bedingung ist nur
> > notwendig für die Linearität).
>
> Ich hab vorhin mal im Skript und in meinen Unterlagen
> gesucht und nichts dazu gefunden....
Das ist aber banal, es gibt mindestens zwei Kurzbeweise dazu (man findet meist den letzteren, warum auch immer): Sei [mm] $\ell: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ irgendeine lineare Abbildung zwischen den beiden [mm] $\IK$-Vektorräumen $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,.$
[/mm]
1. Beweis: Wegen [mm] $0_V=0_{\IK}*v\,$ [/mm] und [mm] $0_W=0_{\IK}*w$ [/mm] für alle $v [mm] \in [/mm] V$ und alle $w [mm] \in [/mm] W$ folgt
[mm] $$\ell(0_V)=\ell(0_{\IK}*v)=0_{\IK}*\ell(v)=0_W$$
[/mm]
(man beachte, dass $V,W [mm] \not=\emptyset$ [/mm] wegen [mm] $0_V \in [/mm] V$ bzw. [mm] $0_W \in [/mm] W$).
2. Beweis: Aus [mm] $0_V=0_V+0_V$ [/mm] folgt
[mm] $$\ell(0_V)=\ell(0_V+0_V)=\ell(0_V)+\ell(0_V)$$
[/mm]
und damit [mm] $\ell(0_V)=0_W\,.$
[/mm]
> > Jetzt zu oben:
> > Du hast schon [mm]x,y \in \IR^3[/mm] entsprechend dargestellt.
> Wir
> > prüfen nun zunächst mal, ob [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)\,[/mm] gilt.
> > Strategie dazu wurde schon vorgestellt:
> > 1.) Berechne zunächst [mm]x+y\,[/mm] und mit diesem Ergebnis
> dann
> > [mm]f(x+y)\,.[/mm]
> > 2.) Berechne [mm]f(x)\,,[/mm] berechne [mm]f(y)\,[/mm] und dann
> > [mm]f(x)+f(y)\,.[/mm]
> > 3.) Vergleiche die beiden Ergebnisse.
> >
> Das Verfahren an sich kann ich nachvollziehen!
> > Also:
> > 1.) Es gilt
> >
> [mm]x+y=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}\,.[/mm]
> >
> > Damit folgt
> >
> >
> [mm]f(x+y)=f(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3})=\vektor{2*(x_1+y_1)+(x_3+y_3)\\-(x_2+y_2)}\,.[/mm]
>
> okay also ich brauche nur 2 der 3 zu betrachten? was ist
> mit z???
Wir brauchen keinen dritten Vektor des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Wir müssen doch nur die Gleichung
[mm] $$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$$
[/mm]
kontrollieren - da sind $x,y [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $x\,$ [/mm] ein Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ein Vektor des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Das sind, soweit ich noch richtig zählen kann: ZWEI VEKTOREN DES [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Mach' Dir das unbedingt klar. Deine Verwirrung hier rührt wohl daher, dass Du die Komponenten von Vektoren zählst und diese Anzahl auch als Anzahl der Vektoren auffasst - das sind aber verschiedene Dinge!
> Bei dir ist jetzt quasi [mm]r=x_1+y_1[/mm] , [mm]s=x_2+y_2[/mm] uns
> [mm]t=x_3+y_3[/mm] ?? r,s und t entsprechen ja nicht den
> ursprünglichen x,y,z deswegen verwirrt mich das und ich
> dachte dass ich das [mm]x_1[/mm] & co quasi nur in die vorschrift
> einsetzen muss (daher kam ich auf mein schwachsinniges
> ergebnis oben).. ohje...da hab ich ne lücke...
Okay. Ich geb' zu: Didaktisch war da etwas ungeschickt - aber Du selbst hast so begonnen:
Du hattest $f(x,y,z)=(2x+z,-y)$ geschrieben (hier sind [mm] $x,y,z\,$ [/mm] reelle Zahlen!) und nachher dann
[mm] $$x=(x_1,x_2,x_3)^T$$
[/mm]
etc. (hier sind es VEKTOREN des [mm] $\IR^3$). [/mm] Also VORSICHT: In der Tat sollte man solche Notationen (einmal [mm] $x\,$ [/mm] für $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] und ein anderes mal [mm] $x\,$ [/mm] für $x [mm] \in \IR^3$) [/mm] nach Möglichkeit vermeiden, oder nur dann benutzen, wenn man in jeder Situation weiß, "welches" der beiden [mm] $x\,$ [/mm] da nur gemeint sein kann. Wir machen das aber im folgenden NICHT mehr!
Also schreiben wir es mal anders:
Die Abbildung schreiben wir jetzt wirklich so:
$$f(r,s,t)=(2r+t,-s)$$
bzw., was die meisten lieber haben, nicht in Zeilen, sondern in Spaltenform:
[mm] $$f(v)=f(\vektor{r\\s\\t})=\vektor{2*r+t\\-s}\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $v=\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3$ [/mm] ein Vektor des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Das bedeutet nichts anderes, als dass der Vektor [mm] $v\,$ [/mm] 3 Komponenten hat und dass seine 3 Komponenten [mm] $r,s,t\,$ [/mm] reelle Zahlen sind. Einverstanden?
> okay wenn ich nur x&y nehme bekomm ich das auch so hin! und
> [mm]T_{2}[/mm] ist lineare Abbildung.
Vorsicht: Wir behandeln hier momentan nur die Gleichung
[mm] $$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$$
[/mm]
für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)^T \in \IR^3\,.$ [/mm] Der Teil mit der " skalaren Multiplikation " ist danach auch noch zu behandeln. Nur, wenn BEIDES gilt, haben wir die Linearität!
> aber wie oben schon erwähnt
> was ist mit z?????
Wie oben erwähnt: Warum sollten wir einen dritten Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] hernehmen? Du kannst zwar auch [mm] $f(x+y+z)=f(x)+f(y)+f(z)\,,$ [/mm] bzw. ein wenig anders geschrieben
[mm] $$f\blue{(}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\vektor{z_1\\z_2\\z_3}\blue{)}=f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})+f(\vektor{y_1\\y_2\\y_3})+f(\vektor{z_1\\z_2\\z_3})$$
[/mm]
nachweisen, aber per Definitionem reicht uns die Gleichheit [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ [/mm] bzw.
[mm] $$f\blue{(}\green{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}+\vektor{y_1\\y_2\\y_3}}\blue{)}=\;\;f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3})\;\;+\;\;f(\vektor{y_1\\y_2\\y_3})\,.$$
[/mm]
Beachte: Ein Vektor [mm] $x\,$ [/mm] des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] also $x [mm] \in \IR^3\,,$ [/mm] hat zwar die Darstellung [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ [/mm] mit DREI Komponenten [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR\,,$ [/mm] aber das ist dann dennoch nur ein Vektor!
> > Bekommst Du nun die Schritte 2.) und 3.) hin?
> wenn 1 geklärt ist schon :)
> >
> > Beachte allerdings, dass Du auch noch
> > [mm]f(\lambda*x)=\lambda*f(x)[/mm]
> > zu prüfen hast.
> >
> > Dazu
> >
> > 1'.) Es ist
> >
> [mm]\lambda*x=\lambda*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3}\,.[/mm]
> > Damit berechne
> > [mm]f(\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3})\,.[/mm]
> > 2'.) Berechne zunächst [mm]f(x)\,,[/mm] und damit dann
> > [mm]\lambda*f(x)\,.[/mm]
> > 3'.) Vergleiche die Ergebnisse aus 2'.) und 3'.).
> >
> > Bekommst Du das auch noch hin?
> >
> ich hoffe
> > P.S.:
> > Eigentlich sollten wir oben besser [mm]T_2[/mm] anstelle von [mm]f\,[/mm]
> > schreiben!
>
> stimmt. danke!!!!1
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mi 01.02.2012 | | Autor: | lisa2802 |
DANKE !!!! DANKE !!! DANKE !!!!
PS : ich hatte bevor ich die Aussage getroffen habe [mm] "T_{2} [/mm] ist eine lineare Abbildung" auch die Multiplikation geprüft :)
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