lineare Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hab mal ne Frage, wie ich an folgenden Beweis herangehen soll:
Es seien V ein K-Vektorraum, n [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] b_{1},....,b_{n} \in [/mm] V linear unabhängige Vektoren. Weiterhin sei [mm] \lambda_{i} \in [/mm] K und [mm] v_{i}= \summe_{j=1}^{i} \lambda_{i}b_{j} [/mm] für i [mm] \in \{1,...,n \}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] v_{1},.......v_{n} [/mm] genau dann linear abhängig sind, wenn [mm] \lambda_{i} [/mm] =0 für wenigstens ein i [mm] \in \{1,...,n \} [/mm] gilt.
wäre für ein paar Tipps sehr dankbar.
liebe Grüße
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> Hallöchen!
> Hab mal ne Frage, wie ich an folgenden Beweis herangehen
> soll:
> Es seien V ein K-Vektorraum, n [mm]\ge[/mm] 1 und [mm]b_{1},....,b_{n} \in[/mm]
> V linear unabhängige Vektoren. Weiterhin sei [mm]\lambda_{i} \in[/mm]
> K und [mm]v_{i}= \summe_{j=1}^{i} \lambda_{i}b_{j}[/mm] für i [mm]\in \{1,...,n \}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]v_{1},.......v_{n}[/mm] genau dann linear
> abhängig sind, wenn [mm]\lambda_{i}[/mm] =0 für wenigstens ein i
> [mm]\in \{1,...,n \}[/mm] gilt.
Hallo,
"==>"
Angenommen, die [mm] v_i [/mm] sind linear abhängig. Dann kannst Du ja eines der [mm] v_i [/mm] als Linearkombination der anderen schreiben. Sei etwa [mm] v_1 [/mm] von Rest linear abhängig.
Dann gibt es [mm] \mu_i [/mm] mit
[mm] v_1= \mu_2v_2+ \mu_3v_3+...+\mu_nv_n
[/mm]
[mm] ==>0=-v_1+\mu_2v_2+ \mu_3v_3+...+\mu_nv_n
[/mm]
Nun setz für [mm] v_i [/mm] jeweils [mm] v_{i}= \summe_{j=1}^{i} \lambda_{i}b_{j}, [/mm] sortiere anschließend nach [mm] b_i [/mm] , bedenke, daß die [mm] b_i [/mm] nach Voraussetzung linear unabhängig sind, und zieh daraus Deine Schlüsse für die [mm] \lambda_i.
[/mm]
"<=="
Sei etwa [mm] \lambda_k=0. [/mm] Dann ist [mm] v_k [/mm] =0.
Gruß v. Angela
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