lineare Abhängigkeit am Bsp. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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folgende zwei Aufgaben
a) [mm] a=\vektor{3\\-1\\2} [/mm] , [mm] b=\vektor{2\\0\\1} [/mm] , [mm] c=\vektor{5\\-3\\4}
[/mm]
b) [mm] a=\vektor{2\\-1\\-3} [/mm] , [mm] b=\vektor{-2\\1\\1} [/mm] , [mm] c=\vektor{-2\\1\\-3}
[/mm]
Im Falle der linearen Abhängigkeit bestimme man drei Zahlen [mm] \lambda ,\mu ,\nu [/mm] mit [mm] (\lambda ,\mu ,\nu) \not= [/mm] (0,0,0) so, dass
[mm] \lambda a+\mu [/mm] b+ [mm] \nu [/mm] c =0 gilt
Ich habe in beiden Fällen über die Determinante herausgefunden, dass die Vektoren jeweils linear abhängig sind, da die Determinante 0 ist.
Allerdings habe ich jetzt ein Problem mit dem Finden der Zahlen, denn wenn ich das GLS aufstelle und dann die Zahlen berechne, dann erhalte ich immer 0. Ist das dann nicht ein Widerspruch?
Anmerkung: Hatte diese Frage schon mal in einem Thread gestellt, wobei ich mich auch auf eine der beiden Aufgaben bezog. Der Übersichtlichkeit halber habe ich das noch mal extra hierher geschrieben, da unklar war, welche Aufgabe ich meinte.
Würde mich freuen, wenn mich jemand darüber aufklärt, ob es andere Zahlen gibt und wie es mit dem vermeintlichen Widerspruch aussieht!
sunshinenight
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Hi,
als Tipp, versuch doch einfach mal einen Vektor als Linearkombination darzustellen, denn wenn z.B a+b=c dann gilt ja auch a+b-c=0
Viel Erfolg
Britta
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hallo
ich glaub mir hilft deine Antwort nicht wirklich weiter.
Mir gehts einfach um die Frage, ob wenn ich herausgefunden habe, dass die Vektoren linear abhängig sind, die gesuchten Zahlen auch 0 sein können.
Wäre auch gut, wenn du mir noch genauer sagen könntest, was du meinst bzw. ein Beispiel bringen könntest.
sunshinenight
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Hallo,
Du kannst das so machen:
l [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 2}+m \vektor{2 \\ -0 \\ 1}+ [/mm] n [mm] \vektor{5 \\ -3 \\ 4}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
==> 3l+2m+5n=0
und -l -3n=0
und 2l + m+4n=0
Dieses Gleichungssystem ist zu lösen. Bei linearer Unabhängigkeit würdest Du k=l=m=0 kriegen,
das ist hier aber nicht der Fall.
Bei mir führt die Lösung des GS zu 2l+3m=0 und m-2n=0
Um eine Lösung zu bekommen, kann man eine Variable frei wählen, etwa m=1 ==> l=-3/2 und n=1/2
und hiermit hast Du drei Zahlen bestimmt, die's tun, wovon man sich durch Einsetzen überzeugen kann.
Aber das ist nur eine von vielen Lösungen, denn es ist ja eine Variable frei wählbar.
Klar?
Gruß v. Angela
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Aber die Aufgabe verlangt quasi doch nur drei Zahlen?, dass es mehr gibt, ist ja ersichtlich bzw. kann man ja dazu schreiben.
Was hast du bei dem GLS angewendet? Ich hab die letzte Gleichung mit -1 multipliziert und dann alle drei Gleichungen addiert. Da kam ich dann auf m-2n=0. In die hab ich jetzt einfach zwei beliebige Zahlen eingesetzt und dann mit einer der oberen die fehlende errechnet. Kommt mit deinen Zahlen zur gleichen Lösung, aber mir ist nicht so recht klar, warum du zwei Gleichungen hast, deswegen würd ich gern den Weg wissen wollen.
Die andere Aufgabe habe ich analog gerechnet.
Ich habe da noch ein GLS mit dem ich einfach auf keine Lösung gekommen, wäre toll, wenn du dir das mal anschauen könntest!
2l + m +9n=0
l - m +3n=0
m + 2n =0
habe das schon zig mal gerechnet und auch Zahlen eingesetzt, aber bei der Kontrolle hatte ich dann immer wieder einen Wert, der von 0 verschieden war. Ansonsten sind die Vektoren linear abhängig, was ich über die Determinante geprüft habe.
Mfg
sunshinenight
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Hallo!
Wenn du natürlich mitten in einer Aufgabe mit einer anderen Aufgabe anfängst, ist es kein Wunder, dass dann zwei Fragen auf einmal in einer Frage stehen, was dann wieder irgendwann unübersichtlich wird. Zu der ersten Aufgabe wäre es nicht schlecht, wenn du mal den Anfang deiner Umformungen posten würdest, dann müssen wir nicht alles machen und sehen auch deine(n) Fehler.
> Ich habe da noch ein GLS mit dem ich einfach auf keine
> Lösung gekommen, wäre toll, wenn du dir das mal anschauen
> könntest!
> 2l + m +9n=0
> l - m +3n=0
> m + 2n =0
>
> habe das schon zig mal gerechnet und auch Zahlen
> eingesetzt, aber bei der Kontrolle hatte ich dann immer
> wieder einen Wert, der von 0 verschieden war. Ansonsten
> sind die Vektoren linear abhängig, was ich über die
> Determinante geprüft habe.
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") wenn du doch einen Wert erhältst, der von 0 verschieden ist, dann sind die Vektoren doch linear abhängig - das stimmt doch. Wo ist dann dein Problem?
Also, machen wir mal diese LGS:
lösen wir die letzte Gleichung nach m auf:
m=-2n
und setzen das in die zweite Gleichung ein:
l-(-2n)+3n=0
das lösen wir nach l auf:
[mm] \gdw [/mm] l+2n-3n=0
[mm] \gdw [/mm] l-n=0
[mm] \gdw [/mm] l=n
und nun setzen wir m und n in die erste Gleichung ein:
2n+(-2n)+9n=0
und das lösen wir jetzt noch nach n auf:
[mm] \gdw [/mm] 9n=0
[mm] \gdw [/mm] n=0
[mm] \Rightarrow [/mm] l=0 und m=0
Übrigens bekomme ich bei der Determinante -3 heraus, wonach die Vektoren linear unabhängig sind, was ja auch diese Rechnung zeigt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: ![[]](/images/popup.gif) Hiermit kannst du auch Determinanten berechnen.
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hallo, aber ich sehe da noch immer nicht durch mit deiner Antwort.
Die Determinante zu dem GLS ist definitiv 0!
und zwar sieht die Determinante wie folgt aus
[mm] \vmat{2&1&9\\1&-1&3\\0&2&2}
[/mm]
wenn ich aber Zeilen und Spalten vertausch, komme ich auf den Wert 3. Ich denke aber, dass dies nicht stimmt, da ja die oben angegebene Determinante zu berechnen ist. Aus dieser folgt ja über die Sarrusregel schon
=-4 +18 -12 -2 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] linear abhängig!
Denke mal, dass dies schon mal einen Teil deiner Aussagen wieder berichtigt, vor allem mit der linearen Abhängigkeit.
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l-(-2n)+3n=0
das lösen wir nach l auf:
l+2n-3n=0
------------------------------------------------------------------------------
woher nimmst du bei der zweiten Gleichung plötzlich -3n, das wäre doch auf jeden Fall +, oder?
Ich erhalte letztendlich auch für n=0 und damit auch für die anderen, aber sollte es nicht bei linearer Abhängigkeit drei Zahlen außer 0 geben, die der Gleichung gerecht werden?
Dies ist das einzige Beispiel, bei dem ich nicht weiterkomme.
mfg
sunshinenight
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Ich glaub ich habe mich hier völlig verwirren lassen!
Diese Determinante ist ja jene vom GLS, meine ursprünglichen Vektoren lauten allerdings:
2a+b , a-b+2c , 9a+3b+2c
Diese Vektoren sind linear abhängig und werden durch meine Determinante ausgedrückt.
Über
l (2a+b)+m(a-b+2c)+n(9a+3b+2c)=0
komme ich zu dem GLS von oben!
Dafür finde ich eben keine Zahlen, so dass (l,m,n) [mm] \not= [/mm] (0,0,0) gilt.
Habe ich nun generell schon einen Fehler gemacht? Bei allen anderen fünf Beispielen hat dieser Weg tadellos funktioniert, nur hier nicht.
mfg
sunshinenight
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Hallo sunshinenight,
> Diese Determinante ist ja jene vom GLS, meine
> ursprünglichen Vektoren lauten allerdings:
> 2a+b , a-b+2c , 9a+3b+2c
Das sollen die Vektoren
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}, \vektor{9 \\ 3 \\ 2} [/mm]
sein?
> Diese Vektoren sind linear abhängig und werden durch meine
> Determinante ausgedrückt.
> Über
> l (2a+b)+m(a-b+2c)+n(9a+3b+2c)=0
> komme ich zu dem GLS von oben!
Na da mußt Du dieses Gleichungssystem vielleicht nochmal prüfen.
viele Grüße
mathemaduenn
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
