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| Aufgabe | Weisen Sie nach: Die Abbildung F : [mm] R^{2} \to R^{2} [/mm] mit [mm] F(\vektor{a \\ b}) [/mm] = [mm] \vektor{a* b \\ b}
[/mm]
ist keine lineare Abbildung.
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kann mir einer helfen diese Aufgabe zu lösen?
LG
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hallo
ich würde mir ein wenig eigeninitiative wünschen:
welche eigenschaft(en) muss eine lineare abbildung denn erfüllen?
lg,
benevonmattheis
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die Eigenschaften der linearen Abbildung :
[mm] f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})
[/mm]
[mm] f(k*\vec{u})=k* f(\vec{u}) [/mm]
ich muss ja einfach mit einem Gegenbeispiel zeigen dass eines der Gesetzte verletzt wird..
ich versteh das aber nicht..
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> die Eigenschaften der linearen Abbildung :
> 1. [mm]f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})[/mm]
> 2. [mm]f(k*\vec{u})=k* f(\vec{u})[/mm]
> ich muss ja einfach mit einem Gegenbeispiel zeigen dass
> eines der Gesetzte verletzt wird..
> ich versteh das aber nicht..
Hallo,
wenn Du doch etwas genauer sagen würdest, was "das", was Du nicht verstehst, ist...
Ich mache Dir jetzt mal ein Beispiel für eine Abbildung, die auch nicht linear ist . Ich tue aber erstmal so, als wüßte ich das nicht.
g: [mm] \IR^3 \to \IR^2
[/mm]
[mm] g(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{ x+2z \\ x+5}
[/mm]
Zur Sicherheit zeige ich Dir, wie man Funktionswerte berechnet:
[mm] g(\vektor{1\\2\\3})=\vektor{ 1+2*3 \\ 1+5}=\vektor{ 7 \\ 6}
[/mm]
So, nun möchte ich zunächst 2. zeigen, daß also : [mm] g(k*\vec{u})=k* g(\vec{u}) [/mm] für alle [mm] k\in \IR [/mm] und für alle [mm] \vec{u}\in \IR^3:
[/mm]
Sei [mm] k\in \IR [/mm] und sei [mm] \vec{u}:=\vektor{u_1\\u_2\\u_3} [/mm] irgendein Vektor aus dem [mm] \IR^3.
[/mm]
Es ist
[mm] g(k*\vec{u})=g(k*\vektor{u_1\\u_2\\u_3})=g(\vektor{ku_1\\ku_2\\ku_3})=\vektor{ku_1+2ku_3\\ku_1+5}= [/mm] ---
Huch! jetzt werde ich stutzig. Ich bemerke nämlich, daß k* [mm] g(\vec{u})=k*g(\vektor{u_1\\u_2\\u_3}=k*\vektor{u_1+2u_3\\u_1+5}=\vektor{k(u_1+2u_3)\\k(u_1+5)} [/mm] etwas anderes ist als das, was ich für [mm] g(k*\vektor{u_1\\u_2\\u_3}) [/mm] bekommen hatte.
Also stimmt 2. wohl gar nicht. Um dies hieb und stichfest zu beweisen, mache ich ein Gegenbeispiel:
Sei k=2 und [mm] \vec{u}=\vektor{1\\2\\3}.
[/mm]
Es ist [mm] g(2*\vec{u})=g(2*\vektor{1\\2\\3})=g(\vektor{2\\4\\6})=\vektor{14
\\7}, [/mm] jedoch [mm] 2*g(\vec{u})=2*\vektor{7\\6}=\vektor{14\\12}.
[/mm]
Hier könnte man jetzt aufhören, denn die Linearität ist widerlegt.
Trotzdem zeige ich Dir noch, was man für 1. täte:
Seien [mm] \vec{u}:=\vektor{u_1\\u_2\\u_3} [/mm] und [mm] \vec{v}:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] beide in [mm] \IR^3.
[/mm]
Es ist
g( [mm] \vec{u}+\vec{v})=g(\vektor{u_1+v_1\\u_2+v_2\\u_3+v_3} =\vektor {(u_1+v_1)+2(u_3+v_3)\\ (u_1+v_1)+5}
[/mm]
und
g( [mm] \vec{u})+g(\vec{v})=\vektor{ u_1+2u_3 \\ u_1+5}+\vektor{ v_1+2v_3 \\ vu_1+5}=\vektor{(u_1+v_1)+2(u_3+v_3)\\u_1+v_1+10}.
[/mm]
Ich sehe: oh, das ist wohl nicht gleich.
Um richtig zu überzeugen, mache ich ein Gegenbeispiel - das überlasse ich jetzt aber Dir.
Wenn Du meinst, daß Du verstsanden hast, was ich getan habe, dann versuche Dich an Deiner Aufgabe.
Diese überlegungen, die dazu führen, daß ich ein Gegenbeispiel suche, gehören nicht in den Beweis. Dort präsentiert man einfach das Gegenbeispiel. Wie man es gefunden hat, geht niemanden etwas an.
Möchtest Du die Linearität zeigen, rechnest Du die Gleichheit vor, so, wie ich begonnen habe, dann aber wegen Ungültigkeit der Aussagen abgebrochen.
Gruß v. Angela
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