lineare Algebra bijektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Gerd52 |
Hallo Forumsfreunde,
ich habe eine kleine Frage.
a)Eine Funktion f: A -> A mit |A| < [mm] \infty [/mm] habe die Eigenschaft, dass
f(f(x)) = x für alle x [mm] \in [/mm] A
Muss denn f zwangsläufig bijektiv sein?
Ich bräuchte eine kleine Erklärung mit einem Beispiel zum Verständnis.
vielen Dank!
grüße
Gerd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Gerd!
Für Abbildungen auf einer endlichen Menge sind die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent. Es reicht also eine dieser Eigenschaften nachzuweisen oder zu widerlegen.
Nimm doch einfach mal an, es gäbe [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit $f(x)=f(y)$. Willst du zeigen, dass $f$ injektiv ist, musst du daraus $x=y$ ableiten. Wie könnte das unter Einbeziehung der Voraussetzung gehen?
Alternativ kannst du auch gleich die Surjektivität nachweisen: nimm dir ein [mm] $x\in [/mm] A$. Gibt es dann notwendiger weise ein [mm] $y\in [/mm] A$ mit $f(y)=x$? Schaue dir auch dazu lediglich die Voraussetzung an.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Gerd52 |
vielen Dank!
viele grüße
Gerd
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