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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:45 So 06.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Die Newtonsche Bewegungsgleichung hat die Form:
[mm]{v}'(t)= -\frac{\gamma}{m}v(t)-g[/mm].
(i) Bestimme die allgemeine Lösung dieser Gleichung.
(ii) Bestimme die spezielle Lösung mit der Anfangsbedingung [mm] v(t_0)=v_0.
[/mm]
(iii) Berechne die Bahnkurve [mm] x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}v(\overline{t})d\overline{t}. [/mm] |
Hallo,
also allgemein weiß ich schon wie ich sowas lösen soll.
Ich hab hiermit auch schon angefangen, habe allerdings etwas Probleme mit der Formulierung der Aufgabenstellung.
Was ich jetzt zu (i) gemacht habe, ist die Gleichung mittels [mm] \varphi(x)=e^{\int_{x_{0}}^{x}a(t)dt}\left(y_{0}-\int_{x_{0}}^{x}e^{-\int_{x_{0}}^{t}a(\overline{t})d\overline{t}}b(t)dt\right) [/mm] gelöst, wobei ich ja hier eigtl schon die spezielle Lösung mit der Anfangsbedingung [mm] v(t_0)=y_0 [/mm] berechnet habe oder? Wäre das also vielmehr die Lösung zu (ii) mit [mm] y_0=v_0?
[/mm]
Wenn ja, was ist dann bei (i) gefordert? Soll ich einfach die allgemeine Lösung so bestimmen:
Sei [mm] \phi_h [/mm] die Lösung der homogenen Gleichung und [mm] \phi_i [/mm] die der inhomogenen, dann ist [mm] \phi=\phi_h+\phi_i?
[/mm]
Ich würde dann [mm] \phi_h [/mm] so berechnen: [mm] \phi_h(x)=C\cdot\mbox{exp}(-\int_{x_0}^{x}a(t)dt), [/mm] wenn die Gleichung die Form y'=a(x)y+b(x) hat.
Das ist ja recht schnell gemacht.
Aber wie komme ich dann an die inhomogene Lösung, also wie berechne ich sie?
Hab ich damit denn nun die Aufgabenstellung richtig interpretiert?
Ich gehe mal davon aus, dass ich bei (iii) dann mein Ergebnis aus (ii) für [mm] v(\overline{t}) [/mm] einsetzen muss und ausrechnen oder?
Gruß Unk
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Hallo,
sieh mal hier, da wurde die Frage schon einmal gestellt.
https://matheraum.de/read?i=627476
Ich schreibe trotzdem mal die Antwort hier rein:
> Was ich jetzt zu (i) gemacht habe, ist die Gleichung
> mittels
> [mm]\varphi(x)=e^{\int_{x_{0}}^{x}a(t)dt}\left(y_{0}-\int_{x_{0}}^{x}e^{-\int_{x_{0}}^{t}a(\overline{t})d\overline{t}}b(t)dt\right)[/mm]
> gelöst, wobei ich ja hier eigtl schon die spezielle
> Lösung mit der Anfangsbedingung [mm]v(t_0)=y_0[/mm] berechnet habe
> oder? Wäre das also vielmehr die Lösung zu (ii) mit
> [mm]y_0=v_0?[/mm]
Das ist nach meinem Verständnis bereits die Lösung für (ii)
>
> Wenn ja, was ist dann bei (i) gefordert? Soll ich einfach
> die allgemeine Lösung so bestimmen:
> Sei [mm]\phi_h[/mm] die Lösung der homogenen Gleichung und [mm]\phi_i[/mm]
> die der inhomogenen, dann ist [mm]\phi=\phi_h+\phi_i?[/mm]
>
> Ich würde dann [mm]\phi_h[/mm] so berechnen:
> [mm]\phi_h(x)=C\cdot\mbox{exp}(-\int_{x_0}^{x}a(t)dt),[/mm] wenn die
> Gleichung die Form y'=-a(x)y-b(x) hat.
> Das ist ja recht schnell gemacht.
Genau das musst du machen.
> Aber wie komme ich dann an die inhomogene Lösung, also wie
> berechne ich sie?
Mache Variation der Konstanten. Das ist hier auch eine ganz einfache Rechnung:
Ansatz für die inhomogene Lösung [mm] \varphi_I: \varphi_I(x)=C(x)\cdot \mbox{exp}(-\int_{x_0}^{x}a(s)ds, [/mm] wenn deine Ausgangsgleichung y'(x)=a(x)y(x)+b(x) ist.
Dann berechne C(x) so: [mm] C(x)=-\int_{x_0}^{x}b(s)ds\cdot \mbox{exp}(\int_{x_0}^{s}a(t)dt).
[/mm]
Am Ende setzt du das wieder in [mm] \varphi_I [/mm] ein.
So bekommst du dann alle Lösungen deiner Gleichung.
> Ich gehe mal davon aus, dass ich bei (iii) dann mein
> Ergebnis aus (ii) für [mm]v(\overline{t})[/mm] einsetzen muss und
> ausrechnen oder?
So würd ichs machen
>
> Gruß Unk
Gruß Sleeper
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:09 So 06.12.2009 | | Autor: | Unk |
Naja gut, wenn ich so die allgemeine Form bestimme, komme ich ja im Prinzip auch wieder auf meine angegebene Formel nur mit [mm] C=y_0.
[/mm]
Dann finde ich es ziemlich witzlos, wenn mit spezielle Lösung das gemeint ist, denn dann müsste ich bei der allgemeinen Form doch für meine Konstante C nur [mm] v_0 [/mm] einsetzen oder?
Ist mit spezielle Lösung nicht wirklich etwas anderes gemeint???
Ist die spezielle Lösung nicht die Lösung des inhomogenen Teils? Aber wie soll ich da mit der Anfangsbedingung ran?
Vielleicht maches ich es auch nur gerade viel komplizierter als es ist, aber ist es wirklich so einfach, dass aus (i) unmittelbar durch ersetzen der Konstante (ii) folgt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:07 So 06.12.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo,
siehe auch den Thread von valoo in diesem Forum ...
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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