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| Aufgabe | hallo zusammen,
auf meinem ÜB soll ich das lineare AWP lösen.
$u'(t)= [mm] \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}* [/mm] u(t); u(0) [mm] =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ |
mein ansatz:
1) allgemeine formel mit [mm] $A^{2n}[/mm] [mm] und [mm][mm] A^{2n+1}$ [/mm] herleiten
2)Eigenwerte bestimmen
3) Eigenvektioren bstimmen
also
[mm] $A^2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 10 & -6 \\ -6 & 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $A^3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 36 & -28 \\ -28 & 36 \end{pmatrix} [/mm] $
allgemein dann
[mm] $A^{2n} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 10 & -6 \\ -6 & 10 \end{pmatrix} [/mm] ^{2n}$
und
[mm] $A^{2n+1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] ^{2n+1}$
Ew bstimmen: für [mm] [latex]A^{2n}[/latex]
[/mm]
[mm] $A-\lambda [/mm] *E [mm] =\begin{pmatrix} 10-\lambda & -6 \\ -6 & 10-\lambda \end{pmatrix} [/mm] $
die determinante ist [mm] [latex]\lambda ^2-20\lambda [/mm] +64[/latex]
und [mm] [latex]\lambda [/mm] 1=16[/latex] und [mm] [latex]\lambda [/mm] 2=4[/latex]
aber das muss ja jetz für [mm] A^{2n} [/mm] stimmen und nicht nur für A?????
wenn ich [mm] [latex]\lambda ^{2n}=16^{2n} [/mm] [/latex] mache, komm ich iwie nicht weiter...
kann mir jemand wieterhelfen???
danke:)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 01.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst für dieses einfache ystem nur Eigenwerte und Eigenvektoren von A
gruss leduart
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ok, dann bekomm ich die eigenwerte [mm] \lambda1 [/mm] = 2 und [mm] \lambda2 [/mm] =4. aber für die eigenvektoren bekomm ich dann
für [mm] 2:\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }*\vektor{v1 \\ v2}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
daraus bekomm ich v1=v2 und -v1+v2=0. muss ich dann ein v gleich 1 setzen? weil ansonsten bekomm ich ja den vektor (0,0)????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 01.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Eigenwerte sind i ,z -i wie kommst du auf deine 4 und 2?
und dann hast du was anderes eingesetzt.
Gruss leduart
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ich hab [mm] A-\lambda*E [/mm] gemacht, dann die determinante berechnet, also [mm] \lambda^2-6\lambda+8 [/mm] und das nullgesetzt und dann hab ich 4 und 2 bekommen
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 02.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib Fragen nicht als Mitteilung, die werden weniger gelesen,
dein A ist doch [mm] :\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] also hast du [mm] \lambda^2+1=0 [/mm] welche Matrix hast du denn angesehen?
gruss leduart
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ach ok.
sry, aber ich bin im aufgabenteil verrutscht. die anfangsmatrix ist [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }. [/mm]
und daraus bekomm ich dann die eigenvektoren [mm] v1=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] v2=\vektor{-1 \\ 1}.
[/mm]
für [mm] u(0,0)=u1*e^0*\vektor{1 \\ 1}+u2*e^0*\vektor{-1 \\ 1}=!\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
dann bekomm ich u1=1/2 und u2=-1/2
stimmt das so??
aber zur anderen matirx - wie kommst du auf die EW i,z,-i? ich bekomm nur i und -i??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Konstanten sind jetzt richtig.
(wie das z dahingeraten ist weiss ich auch nicht bei i und -i
also ein Tippfehler.)
gruss leduart
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hallo,
wenn ich die matrix nehme, bei der die EW i und -i sind, stimmt dann das:
die EV sind v1=(1,-i) und v2=(1,i)??
und die lösung ist dann u(t)= 1/2*e^it [mm] *\vektor{1 \\ -i}+1/2*e^-it *\vektor{1 \\ i}??
[/mm]
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Hallo Sabrinchen101,
> hallo,
> wenn ich die matrix nehme, bei der die EW i und -i sind,
> stimmt dann das:
> die EV sind v1=(1,-i) und v2=(1,i)??
> und die lösung ist dann u(t)= 1/2*e^it [mm]*\vektor{1 \\ -i}+1/2*e^-it *\vektor{1 \\ i}??[/mm]
>
Ja, das ist die Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Lösung kannst Du noch ausmultiplizieren
und erhältst dann die reelle Lösung.
Gruss
MathePower
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ok, danke :)
muss ich eigentlich noch die matrizen A^2n und A^2n+1 anschauen?
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Hallo Sabrinchen101,
> ok, danke :)
> muss ich eigentlich noch die matrizen A^2n und A^2n+1
> anschauen?
Das musst Du nur, wenn Du die Lösung
über das Matrixexponential ermittelst.
Gruss
MathePower
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achso. das hab ich ja gemacht.
dann bekomm ich für die matrix [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] die allgemeinen formen A^2n= [mm] \pmat{ -1 & 0\ 0 & -1 }^2n [/mm] und [mm] A^2n+1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }^2n+1, [/mm] d.h. ich bekomm beider A^2n+1 Matrix die EW i und -i. bei der A^2n den EW -1, aber der wird zu 1,da (-1)^2n=1 ist.
stimmt das
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Hallo Sabrinchen101,
> achso. das hab ich ja gemacht.
> dann bekomm ich für die matrix [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> die allgemeinen formen A^2n= [mm]\pmat{ -1 & 0\ 0 & -1 }^2n[/mm] und
> [mm]A^2n+1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }^2n+1,[/mm] d.h. ich bekomm
> beider A^2n+1 Matrix die EW i und -i. bei der A^2n den EW
> -1, aber der wird zu 1,da (-1)^2n=1 ist.
> stimmt das
Wenn Du die Lösung über das Matrixexponential ermittelst,
dann brauchst Du keine EW's und EV's berechnen.
Gruss
MathePower
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mh ok, weil mein tutor hat gemeint, dass wir die allgemeine formel herleiten sollen und danach die EW und EV bestimmen...
gruß
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Hallo Sabrinchen101,
> mh ok, weil mein tutor hat gemeint, dass wir die allgemeine
> formel herleiten sollen und danach die EW und EV
> bestimmen...
Ja, zuerst die Lösung über die allgemeine Formel herleiten
und dann die Lösung mit Hilfe von EW und EV der Matrix bestimmen.
> gruß
Gruss
MathePower
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