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| Aufgabe | Sei M der reelle Vektorraum aller Polynome in Abb( [mm] \IR [/mm] , [mm] \IR [/mm] ). Sei P [mm] \in [/mm] M .
Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen lineare Funktionen sind.
a) f : M [mm] \to \IR [/mm] , P [mm] \to [/mm] f(P) := P(0)
b)g : M [mm] \to \IR [/mm] , P [mm] \to [/mm] g(P) := [mm] \summe_{k=0}^{ \infty } P^k [/mm] (0)
(k entspricht der k-ten Ableitung des Polynoms) |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Ich weiß zwar, wie im Allgemeinen lineare Funktionen in Abb( [mm] \IR^n, \IR [/mm] ) definiert sind.
Dabei ist die Funktion f genau dann linear, wenn es ein a [mm] \in \IR^n [/mm] mit folgender Eigenschaft gibt.
Für jedes x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt f(x) = a * x.
In Worten formuliert bedeutet das doch folgendes:
Damit die Funktion linear ist, muss es ein Element a des Definitionsbereichs geben, so dass für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt, dass das Produkt von a und x gleich dem Funktionswert f(x) ist.
Das habe ich doch richtig so verstanden, oder?
Aber wie finde ich für die oben angegebenen Funktionen ein solches a?
Kann ich die von mir oben angegebenen Definition für lineare Funktionen hier überhaupt verwenden, da die zu untersuchenden Funktionen ja Abbildungen von M nach [mm] \IR [/mm] sind? Es wird also einem Polynom einen reelle Zahl zugeordnet. Und die von mir angegebene Definition bezieht sich ja auf Abbildungen von [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
zu a) Habe ich das richtig verstanden, dass ich hier ein Poynom a aus M finden müsste, dass multipliziert mit jedem Polynom x des Definitionsbereiches M das konstante Glied des Polynoms x ergibt?
Wenn ja, wie könnte ein solches Polynom aussehen. Ich komm irgendwie nicht drauf?
zu b) hier blicke ich irgendwie garnicht durch??? Vielleicht gibt mir jemand einen Tipp!
Danke schon mal für eure Hilfe!
Viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Das hattet Ihr doch sicher:
Sind V und W Vektorräume über dem Körper K, so heißt eine Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W linear, wenn
[mm] f(\alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y) = [mm] \alpha [/mm] f(x) + [mm] \beta [/mm] f(y) für alle x,y [mm] \in [/mm] V und alle [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K.
FRED
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Ok, das verstehe ich wohl soweit und kann mich auch wieder an diese Definition erinnern.
Aber was ist mit dieser Definition:
> Ich weiß zwar, wie im Allgemeinen lineare Funktionen in
> Abb( [mm]\IR^n, \IR[/mm] ) definiert sind.
> Dabei ist die Funktion f genau dann linear, wenn es ein a
> [mm]\in \IR^n[/mm] mit folgender Eigenschaft gibt.
> Für jedes x [mm]\in \IR^n[/mm] gilt f(x) = a * x.
>
> In Worten formuliert bedeutet das doch folgendes:
>
> Damit die Funktion linear ist, muss es ein Element a des
> Definitionsbereichs geben, so dass für alle Elemente x des
> Definitionsbereichs gilt, dass das Produkt von a und x
> gleich dem Funktionswert f(x) ist.
Das ist doch irgendwie etwas anderes, als die von dir angegebene.
Und die von mir beschriebene Definition steht bei mir im Skript unmittelbar vor der Aufgabe. Deshalb habe ich gedacht die Aufgabe würde sich irgendwie darauf beziehen.
Was ist denn jetzt der Unterschied, denn beide Definitionen laufen ja unter dem Begriff lineare Funktion?
schlumpfinchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Sind V und W Vektorräume über dem Körper K, so heißt eine Abbildung f:V $ [mm] \to [/mm] $ W linear, wenn
$ [mm] f(\alpha [/mm] $ x + $ [mm] \beta [/mm] $ y) = $ [mm] \alpha [/mm] $ f(x) + $ [mm] \beta [/mm] $ f(y) für alle x,y $ [mm] \in [/mm] $ V und alle $ [mm] \alpha, \beta \in [/mm] $ K.
Nun betrachten wir den Spezialfall V = [mm] \IR^n [/mm] und W = [mm] \IR. [/mm] Sei [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] eine Abbildung.
Behauptung: f ist linear [mm] \gdw [/mm] es ex. a [mm] \in \IR^n: [/mm] f(x) = a*x für jedes x [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Beweis:
" [mm] \Leftarrow" [/mm] : nachrechnen !
[mm] "\Rightarrow" [/mm] : Mit [mm] e_1, [/mm] ..., [mm] e_n [/mm] bez. wir die Basiseinheitsvektoren im [mm] \IR^n [/mm] und setzen
[mm] a_j [/mm] = [mm] f(e_j) [/mm] (j =1, ..., n) und a = [mm] (a_1, [/mm] ..., [mm] a_n)
[/mm]
Für x = [mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] ist dann x = [mm] $\summe_{i=1}^{n}x_ie_i$, [/mm] also
$f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_if(e_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_ia_i [/mm] $ = a*x
FRED
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