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Hallo
Ich habe ein problem mit folgender Aufgabe:
Es seien u=(1,1,1) und v=(1,1,-1) zwei Vektoren im [mm] R^3 [/mm] und W die lineare Hülle von {u,v} . Man finde Zahlen a,b,c [mm] \in [/mm] R, so dass ein Vektor w=(x,y,z) genau dann in W liegt, wenn ax+by+cx=0
Also die linerare Hülle von {u,v} sind ja alle Linearkombinationen von u und v
Ich habe mir gedacht, dass man hier einen Äquvalenzbeweis führen muss, oder? ( genau dann wenn)
[mm] \Rightarrow [/mm] : Sei w [mm] \in [/mm] W, dann folg die lineare Hülle von {U;V;W} sind alle Linearkombinationen dieser drei Vektoren.
Aber was muss gelten damit w darin liegt, muss w durch Linearkombinationen von u unv darstellbar sein? Wwie komme auch auf ax+by+cx=0 ???
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo Yellowbird,
meiner Meinung nach musst du keinen Äquivalenzbeweis führen, sondern einfach die drei [mm] a , b , c \in R [/mm] bestimmen.
Setze die beiden Vektoren u und v in die Gleichung
[mm] ax + by + cx [/mm] ein und überlege für welche a , b ,c die Gleichung 0 wird.
Gruß Toyo
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Hallo
In der Aufgabenstellung steht "genau dann...wenn" Und in unserer Übung wurde uns gesagt, dass es sich dann um Äquivalenzbeweise handelt...
???????????????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Yellowbird!
Wähle den Vektor [mm] $f:=(a,b,c)^T \in \IR^3$ [/mm] so, dass er orthogonal zu $u$ und $v$ ist (indem du zum Beispiel das Vektorprodukt von $u$ und $v$ bildest).
Dann musst du einen Äquivalenzbeweis führen.
Klar ist:
Wenn $w$ eine Linearkombination von $u$ und $v$ ist, dann ist $w$ orthogonal zu $f=(a,b,c)$ und erfüllt somit die Gleichung.
Umgekehrt nimmst du an, ein Vektor $w$ sei keine Linearkombination von $u$ und $v$, liege also nicht in der linearen Hülle, die von $u$ und $v$ aufgespannt wird. Da $u$, $v$ und [mm] $f=(a,b,c)^T$ [/mm] aber eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden, gibt es dann Skalare [mm] $\lambda$, $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] mit
$w = [mm] \lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v + [mm] \nu [/mm] f$
mit [mm] $\nu \ne [/mm] 0$. Zeige, dass dann
[mm] $\langle [/mm] w, f [mm] \rangle [/mm] = ax + by + cz [mm] \ne [/mm] 0$
ist (mit [mm] $w=(x,y,z)^T$). [/mm] (Nutze dabei die Bilinearität des Skalarproduktes und die Tatsache, dass $f$ zu $u$ und $v$ orthogonal ist, aus.)
Liebe Grüße
Stefan
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Hall
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, aber ich habe da ein paar Sachen noch nicht verstanden
Also wenn ich bei der Hinrichting davon ausgehe, dass w in der linearen Hülle liegt, muss ich dann nicht bei der Rückrichtugn anfangen mit: Es gilt ax+by+cz=0 und dann weitermachen??? Weil in der Aufgabe heißt es ja " dass ein Vektor w=(x,y,z) genau dann in W liegt, wenn ax+by+cz=0 ist. "
Ich verstehe immer noch nicht genau wie ich auf meine ax+by+cz=0 komme. Was setzt man ein um a,b,c zu bekommen. Das mit der Orthogonalität haben wir noch nicht gemacht, ist mir nur aus der Schule verständlich. Kannst du mir erklären wie genau ich auf die reellen Zahlen a,b,c komme, so dass wenn gilt ax+by+cz=0 w in der linearen Hülle lieg???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Yellowbird!
> Also wenn ich bei der Hinrichting davon ausgehe, dass w in
> der linearen Hülle liegt, muss ich dann nicht bei der
> Rückrichtugn anfangen mit: Es gilt ax+by+cz=0 und dann
> weitermachen??? Weil in der Aufgabe heißt es ja " dass ein
> Vektor w=(x,y,z) genau dann in W liegt, wenn ax+by+cz=0
> ist. "
Normal ja. Dann würdest du
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
zeigen mit
A = "Es gilt $ax+by+cz$."
B = "$w$ liegt in dem von $u$ und $v$ aufgespannten Unterraum".
Ich zeige aber die Kontraposition dieser Aussagen also:
[mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$,
die zu $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ logisch äquivalent ist.
> Ich verstehe immer noch nicht genau wie ich auf meine
> ax+by+cz=0 komme. Was setzt man ein um a,b,c zu bekommen.
> Das mit der Orthogonalität haben wir noch nicht gemacht,
> ist mir nur aus der Schule verständlich.
Das ist schlecht. Hmmh, aber ihr dürft doch wohl das Vektorprodukt aus der Schule voraussetzen, oder etwa nicht?
Wähle
[mm] $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$,
[/mm]
oder finde auf einem anderen Wege (etwa LGS) einen Vektor [mm] $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, [/mm] der auf $u = [mm] \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ [/mm] und $v = [mm] \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ [/mm] orthogonal (senkrecht) steht.
Dann gilt mit $z = [mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$:
[/mm]
[mm] $\langle [/mm] u,z [mm] \rangle [/mm] = [mm] u_1 [/mm] a + [mm] u_2 [/mm] b + [mm] u_3 [/mm] c=0$
und
[mm] $\langle [/mm] v,z [mm] \rangle [/mm] = [mm] v_1 [/mm] a + [mm] v_2 [/mm] b + [mm] v_3 [/mm] c =0$
und daher auch
[mm] $\langle [/mm] w , z [mm] \rangle [/mm] = 0$
für alle $w = [mm] \lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v$ in dem von $u$ und $v$ aufgespannten Unterraum.
Liebe Grüße
Stefan
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