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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 30.10.2013 | | Autor: | kRAITOS |
a) Gegeben seien [mm] v_1, [/mm] ... , [mm] v_l \in K^n.
[/mm]
Die lineare Hülle von [mm] v_1, [/mm] ... , [mm] v_l [/mm] ist gegeben als
[mm] (v_1, [/mm] ... , [mm] v_l):= [/mm] { [mm] a_1*v_1 [/mm] + ... [mm] a_l*v_l [/mm] | [mm] a_1, [/mm] ... , [mm] a_l [/mm] } [mm] \subseteq K^n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (v_1, [/mm] ... , [mm] v_l) [/mm] ein linearer Unterraum von [mm] K^n [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie die linearen Unterräume von K².
Muss ich jetzt die Axiome eines Unterraumes nachweisen für a?
Also dass die 0 enthalten ist und Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation und Addition besteht? Wenn ja, kann ich da einfach beliebige Vektoren wählen oder gibt es da Einschränkungen?
Bei Teilaufgabe b habe ich keine Ahnung...
Danke schonmal für Denkstöße und Hilfe. :)
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> a) Gegeben seien [mm]v_1,[/mm] ... , [mm]v_l \in K^n.[/mm]
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> Die lineare Hülle von [mm]v_1,[/mm] ... , [mm]v_l[/mm] ist gegeben als
>
> [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]a_1*v_1[/mm] + ... [mm]a_l*v_l[/mm] | [mm]a_1,[/mm] ... , [mm]a_l[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } [mm]\subseteq K^n.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm] ein linearer Unterraum
> von [mm]K^n[/mm] ist.
>
> b) Bestimmen Sie die linearen Unterräume von K².
>
>
>
>
> Muss ich jetzt die Axiome eines Unterraumes nachweisen für
> a?
Hallo,
ja, die drei Unterraumriterien.
>
> Also dass die 0 enthalten ist und Abgeschlossenheit
> bezüglich Multiplikation und Addition besteht?
Genau.
>Wenn ja,
> kann ich da einfach beliebige Vektoren wählen oder gibt es
> da Einschränkungen?
Du mußt das ganz allgemein lösen:
1. Der Nullvektor von [mm] K^n [/mm] ist in [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm], denn ...
2. Seien [mm] v,w\in[/mm] [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm].
Dann gibt es Elemente [mm] a_1, ...,a_l, b_1,...,b_l [/mm] mit
v=...
w=....
Es ist v+w= ...=...=... [mm] \in[/mm] [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm], denn ...
3. Sei [mm] \lambda\in [/mm] K und [mm] \v\in[/mm] [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm].
Dann ist v= ...,
und es ist [mm] \lambda [/mm] v= ...=...=... [mm] \in[/mm] [mm](v_1,[/mm] ... , [mm]v_l)[/mm], denn ...
So in diesem Stile ist die Aufgabe zu lösen.
LG Angela
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> Bei Teilaufgabe b habe ich keine Ahnung...
>
>
> Danke schonmal für Denkstöße und Hilfe. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 01.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Danke für die Antwort.
Wie muss ich das denn bei Teilaufgabe b handhaben?
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> Wie muss ich das denn bei Teilaufgabe b handhaben?
Hallo,
was ist eigentlich in dieser Aufgabe K? Ein allgemeiner Körper, oder verbirgt sich etwas spezielles dahinter?
Naja, auf jeden Fall solltest Du die Dimension von [mm] K^2 [/mm] kennen. [mm] dim(K^2)=???
[/mm]
Welche Dimensionen können die Unterräume haben?
Wovon werden sie erzeugt?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 02.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Also [mm] K^n [/mm] ist einfach nur ein Körper.
Na die Dimension von [mm] K^2 [/mm] = 2.
Erzeugt werden die Unterräume doch von linear unabhängigen Vektoren oder? Dementsprechend kann die Dimension von [mm] K^2 [/mm] doch auch 1 sein?
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> Also [mm]K^n[/mm] ist einfach nur ein Körper.
>
> Na die Dimension von [mm]K^2[/mm] = 2.
Hallo,
ja.
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> Erzeugt werden die Unterräume doch von linear
> unabhängigen Vektoren oder? Dementsprechend kann die
> Dimension von [mm]K^2[/mm] doch auch 1 sein?
Die Dimension des [mm] K^2 [/mm] unverhandelbar =2.
Der Nullraum ist natürlich auch ein Unterraum.
Und die Unterräume der Dimension 1, wie sind die gemacht?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 02.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Die Unteräume der Dimension 1 sehen so aus:
[mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] oder
[mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{x \\ 0}
[/mm]
Also quasi so, dass sich ein Vektor mithilfe eines Skalars als Vielfaches des anderen Vektoren darstellen lässt.
Also wären die Unterräume des [mm] K^2 [/mm]
[mm] \vektor{x \\ 0}, \vektor{0 \\ y} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0}?
[/mm]
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Hallo!
> Die Unteräume der Dimension 1 sehen so aus:
>
> [mm]\vektor{0 \\ y}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ y}[/mm]
Darf man mal erfahren,was der Unterschied zwischen
[mm]\vektor{0 \\ y}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ y}[/mm] ist?
Du mußt Dich mit den Definitionen vertraut machen. Du zeigst mir hier irgendwelche Vektoren.
Unterräume aber sind gewisse Mengen.
> oder
> [mm]\vektor{x \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{x \\ 0}[/mm]
>
>
> Also quasi so, dass sich ein Vektor mithilfe eines Skalars
> als Vielfaches des anderen Vektoren darstellen lässt.
Aha. Du willst mir vielleicht gerade sagen, daß es zwei eindimensionale Unterräume des [mm] K^2 [/mm] gibt, nämlich den von
[mm] \vektor{1\\0} [/mm] erzeugten Raum
[mm] U:=\{x*\vektor{1\\0}|x\in K} [/mm] und den Raum
[mm] U':=\{y*\vektor{0\\1}|y\in K}.
[/mm]
In der Tat sind dies Unterräume des [mm] K^2, [/mm] aber nicht die einzigen!
Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor des [mm] K^2 [/mm] erzeugt einen eindimensionalen Unterraum.
>
>[mm]\vektor{0 \\ 0}?[/mm]
Dies ist ein Vektor, kein Unterraum.
Der Unterraum ist [mm] :=\{\vektor{0 \\ 0}\}.
[/mm]
Den zweidimensionalen Unterraum hast Du vergessen...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 03.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Angela,
entschuldige aber mit der Schreibweise bin ich noch nicht ganz so vertraut aber ich habe das gemeint, was du geschrieben hast.
Also insgesamt gibt es 4 Unterräume:
Die 3, die ich versucht habe, zu erklären und die du so schön in eine Menge geschrieben hast und den zweidimensionalen.
U:= { [mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] |x [mm] \in [/mm] K }
U´:= { [mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] |y [mm] \in [/mm] K }
U´´:= { [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] }
U´´´:= { [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] |x,y [mm] \in [/mm] K }
Muss ich dafür noch einen Beweis erbringen oder kann ich das einfach so behaupten?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also insgesamt gibt es 4 Unterräume:
Hallo,
Du solltest nochmal gründlich lesen, was ich Dir zu den eindimensionalen Unterräumen gesagt habe. Es gibt mehr davon.
>
> Die 3, die ich versucht habe, zu erklären und die du so
> schön in eine Menge geschrieben hast und den
> zweidimensionalen.
>
> U:= { [mm]\vektor{x \\ 0}[/mm] |x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K }
> U´:= { [mm]\vektor{0 \\ y}[/mm] |y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K }
> U´´:= { [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> U´´´:= { [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] |x,y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K }
>
> Muss ich dafür noch einen Beweis erbringen oder kann ich
> das einfach so behaupten?
Im Prinzip ist nichts weiter zu tun, denn daß die lineare Hülle von Vektoren des K^2 ein UVR des K^2 ist, hast Du zuvor gezeigt, und Du betrachtest hier ja die linearen Hüllen von 0,1,2 linear unabhängigen Vektoren.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 So 03.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Dann danke ich dir für deine Hilfe. :)
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