lineare Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Bestimme alle ganzzahligen Lösungen x der Kongruenz
[mm] 2012x\equiv [/mm] 2013 (mod5) |
Könnt ihr mir erklären wie man sowas macht?
Ich kenne einmal den Lösungsweg über den ggT(2012,5)=1 und 1|2013
oder man kann als diophantische Gleichung umschreiben: 2012x-2013=5y
Könnt ihr mir erklären wie ich auf die Lösungen von x komme? Theoretisch kann es ja nicht mehr als 5 Läsungen geben weil gilt [mm] 0\le [/mm] x< 5
Wäre schön, wenn mir das jemand erklären kann.
LG
heinze
|
|
| |
|
Hallo heinze,
> Bestimme alle ganzzahligen Lösungen x der Kongruenz
>
> [mm]2012x\equiv[/mm] 2013 (mod5)
> Könnt ihr mir erklären wie man sowas macht?
>
> Ich kenne einmal den Lösungsweg über den ggT(2012,5)=1
> und 1|2013
>
> oder man kann als diophantische Gleichung umschreiben:
> 2012x-2013=5y
>
> Könnt ihr mir erklären wie ich auf die Lösungen von x
> komme? Theoretisch kann es ja nicht mehr als 5 Läsungen
> geben weil gilt [mm]0\le[/mm] x< 5
>
> Wäre schön, wenn mir das jemand erklären kann.
Reduziere erst einmal modulo 5 zu
$2x \ [mm] \equiv [/mm] \ 3 \ [mm] \operatorname{mod}(5)$
[/mm]
Nun kannst du mit dem multiplikativ Inversen von 2 modulo 5 multiplizieren ...
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
Danke...das multiplikative Inverse zu 2 ist 3.
Aber damit komme ich nicht so recht weiter.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 18.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Multipliziere jetzt mal die Gleichung 2x=3 (mod 5) auf beiden Seiten mit 3.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
Das hatte ich gemacht, aber damit kam ich nicht weiter:
[mm] 6x\equiv [/mm] 9 (mod 5)
Ich kann x höchstens durch "raten" finden, aber wie man rechnerisch Lösungen findet ist mir noch immer unklar :(
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 18.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, du brauchst noch ein paar Rechenregeln für Modulorechnung. Du darfst z.B. einzelne Faktoren auch einfach modulo 5 rechnen. z.B. $6*9=1*4=4 [mm] \mod [/mm] 5$ oder $10*6+21=0*1+1=1 [mm] \mod [/mm] 5$.
Genau darfst du hier aus $6x$ einfach $1*x=x$ machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Di 18.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Multipliziere jetzt mal die Gleichung 2x=3 (mod 5) auf
> beiden Seiten mit 3.
Hallo,
da wüsste ich was besseres. Nutze, dass [mm]3\equiv -2 mod 5[/mm].
Du wirst wohl noch alle x finden, für die [mm]2x\equiv -2 mod 5[/mm] gilt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 18.12.2012 | | Autor: | heinze |
Diesen Umformungsschritt verstehe ich nicht.
ich habe bisher noch kaum mit Restklassen gerechnet und zu linearen Kongruenzen auch noch nichts.
Vielleicht könnt ihr mir das nochmal schritt für schritt erklären? wenn ich das an einem beispiel ausführlich anchvollziehen kann, dann kann ich das auch übertragen.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 18.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Wenn du modulo n rechnest, dann sind alle Zahlen gleich, deren Differenz von n geteilt wird.
z.B. modulo 5 gilt ...=-7=-2=3=8=13=... (denn z.B. 8-(-7)=15 und 3 teilt 15).
Von daher ist bei dir auch 3=-2.
Oder modulo 2 sind z.B. -6=-4=100= und 5=99=-101.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 19.12.2012 | | Autor: | heinze |
Irgendwie leuchtet mir da simmer noch nicht so recht ein. Ich weiß es gibt ein schema mit ggT und dann rückwärts irgendwie herleiten.
Weil ggT(2012,5)=1 kann es nur eine Lösung geben.
x=4+5k, [mm] k\in \IZ [/mm] ?? Aber das wären ja mehrere Lösungen.
So richtig verstanden habe ich das ganze noch nicht..
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo heinze,
> Irgendwie leuchtet mir da simmer noch nicht so recht ein.
> Ich weiß es gibt ein schema mit ggT und dann rückwärts
> irgendwie herleiten.
Ja, das gibts. Mit erweitertem euklidischen Algorithmus und mittlerem Brimborium. Aber das brauchst Du hier überhaupt nicht.
> Weil ggT(2012,5)=1 kann es nur eine Lösung geben.
Richtig. Nur eine Restklasse löst die Äquivalenz.
> x=4+5k, [mm]k\in \IZ[/mm] ?? Aber das wären ja mehrere Lösungen.
Das sind sogar unendlich viele. Aber es ist nur eine Restklasse, nämlich [4]. Und das ist in der Tat die richtige Lösung!
> So richtig verstanden habe ich das ganze noch nicht..
In der Modulrechnung werden "einfach" alle Zahlen, die den gleichen Rest bei Teilung durch den Modul lassen (wobei man "Rest" geeignet definieren muss), in die gleiche Restklasse getan. Modulo 5 sind 7,112 und 2.104.987.357 also das gleiche, alle lassen bei Teilung durch 5 den Rest 2. In die gleiche Restklasse gehören auch -3,-218 und -3.662.013. Und natürlich unendlich viele weitere Zahlen.
Grüße
reverend
|
|
|
|
