lineare Optimierung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Do 15.11.2012 | | Autor: | alhonso |
| Aufgabe | Hallo liebe User,
im Rahmen meiner Masterarbeit befasse ich mich mit Genossenschaften und möchte dort eingangs einen Teil des Problems mathematisch darstellen, weiß aber nicht genau weiter.
folgende Aufgabenstellung:
Eine Genossenschaft mit n Kunden produziert X. Jedes Mitglied verbraucht x1 Einheiten davon zum Preis pg. Die überschüssige Menge (X-x1*n) wird an den Markt zum Preis pm verkauft. Die Genossenschaft selbst will keinen Gewinn erzielen und ihre Mitglieder optimal fördern, d. h. sie versucht den Gewinn den sie durch die Marktgeschäfte erzielen würde sofort durch billigere Preise an die Mitglieder weiterzugeben. Sie hat also das Ziel der Minimierung von pg. Gesetzlich ist sie einigen Auflagen unterworfen, nämlich dass die Mitglieder mindestens 70 % der produzierten Menge erhalten müssen (=Nebenbedingung 1) und dass mindestens 50 % der gesamten Einnahmen aus Mitgliedergeschäften stammen müssen (=Nebenbedingung 2).
Mathematisch ausgedrückt sieht das folgendermaßen aus:
Gewinn = Einnahmen Mitglieder + Einnahmen Markt - Kosten
Da der Gewinn = 0 sein soll, folgt:
0 = pg*x1*n + pm * (X-x1*n) - C
-> pg=(C-pm*(X-x1*n))/(x1*n)
min pg(n)
unter den Nebenbedingunen:
x1*n/X >= 0,7 Nebenbedingung 1
(C-(pm*(X-x1*n))/C >= 0,5 Nebendedingung 2 (schon vereinfacht)
0<= x1*n <= X |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1699417#post1699417
Ziel ist es also die optimale Mitgliederstruktur festzustellen, bei der der Genossenschaftspreis pg minimal ist. ich möchte dadurch zeigen, wie sich der Preis für die Mitglieder ändert, wenn sich die Anzahl an Mitglieder ändert.
Meiner Ansicht nach muss ich deshalb pg nach n ableiten, ich weiß aber nicht wie ich die Nebenbedingungen hier einbaue. Ich habe auch versucht dies mit Mathematica zu lösen, dort bekomme ich aber kein Ergebnis. Hat jemand eine Ahnung wie ich vorgehen muss, um irgendwann aussagen zu können "Wenn sich die Anzahl der Mitglieder ändert (und der Rest konstant bleibt), dann passiert mit dem Preis pg folgendes: ____________"
Anmerkung: die Genossenschaft kann bis auf den Preis, den sie von ihren Mitgliedern verlangt und die Anzahl an Mitglieder keine der Parameter beeinflussen.
Vielen Dank im Voraus
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Hi,
dein Problem ist offensichtlich kein lineares Optimierungsproblem.
> im Rahmen meiner Masterarbeit
> befasse ich mich mit
>
> Meiner Ansicht nach muss ich deshalb pg nach n ableiten,
> ich weiß aber nicht wie ich die Nebenbedingungen hier
> einbaue. Ich habe auch versucht dies mit Mathematica zu
> lösen, dort bekomme ich aber kein Ergebnis.
Analytisch kannst du es mit dem Ansatz der Lagrange-Multiplikatoren versuchen zu lösen.
Was hast du bei Mathematica konkret versucht? Sonst bleiben dir nur iterative Verfahren für nichtlineare Probleme.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:18 Do 15.11.2012 | | Autor: | alhonso |
hi und danke für deine schnelle Antwort.
und was ist es dann, wenn es keine lineare optimierung ist?
bei mathematica habe ich folgendes eingegeben:
Maximize[{(pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)/(-(n*xg)),{0<=xg*n<=x,0<=n<=k,n*xg/x>=gs,-(pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)/(-((pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)+pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)))>=ge}},n]
der Befehl war Maximiere mir die Funktion unter folgenden Nebenbedingungen in Abhängigkeit von n (dies ist eine etwas erweiterte Variante, wo noch eine andere Einnahmequelle berücksichtigt ist und etwas anderer Notation). er hört aber nicht auf zu rechnen und gibt mir keine Lösung.
Naja lagrange kann ich hier ja nicht verwenden, da die Nebenbedingungen Ungleichungen sind, oder? eher müsste ich Kuhn-Tucker verwenden, aber das wird bei den ganzen Nebenbedingungen mit der Fallunterscheidung sehr aufwendig und ohne Zahlen kaum lösbar (zumindest für mich).
welche iterative Verfahren meinst du konkret? ich steh bei dieser Problemstellung nämlich komplett an und weiß nicht wie ich weitermachen soll und wie ich hier auf irgendwas kommen kann...
Gruß Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 15.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
> hi und danke für deine schnelle Antwort.
>
> und was ist es dann, wenn es keine lineare optimierung ist?
>
> bei mathematica habe ich folgendes eingegeben:
>
> Maximize[{(pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)/(-(n*xg)),{0<=xg*n<=x,0<=n<=k,n*xg/x>=gs,-(pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)/(-((pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)-c)+pe*(x-xg*n)+pt*(k-n)))>=ge}},n]
>
> der Befehl war Maximiere mir die Funktion unter folgenden
> Nebenbedingungen in Abhängigkeit von n (dies ist eine
> etwas erweiterte Variante, wo noch eine andere
> Einnahmequelle berücksichtigt ist und etwas anderer
> Notation). er hört aber nicht auf zu rechnen und gibt mir
> keine Lösung.
>
> Naja lagrange kann ich hier ja nicht verwenden, da die
> Nebenbedingungen Ungleichungen sind, oder? eher müsste ich
> Kuhn-Tucker verwenden, aber das wird bei den ganzen
> Nebenbedingungen mit der Fallunterscheidung sehr aufwendig
> und ohne Zahlen kaum lösbar (zumindest für mich).
Kuhn-Tucker ist ja nur die Verallgemeinerung. Aber da hast du recht.
>
> welche iterative Verfahren meinst du konkret? ich steh bei
> dieser Problemstellung nämlich komplett an und weiß nicht
> wie ich weitermachen soll und wie ich hier auf irgendwas
> kommen kann...
"Strafverfahren","Multiplikatorverfahren"?
Du müsstest doch eine Vorlesung über nichtlineare Optimierung gehört haben.
Nichtlineare Probleme mit nichtlinearen Nebenbedingungen sind eben eklig.
>
> Gruß Hannes
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 17.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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