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| Aufgabe | Sei [mm] T:\IR^2\to\IR^2 [/mm] eine lineare Transformation definiert also
[mm] T\left(\vektor{x_1 \\ x_2}\right)=\vektor{x_1+2x_2 \\ 3x_1+2x_1} [/mm] . Weiterhin seien [mm] B_1=\left\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\right\} [/mm] und [mm] B_2=\left\{\vektor{1 \\ 3},\vektor{2 \\ 5}\right\}.
[/mm]
Finden Sie die Matrizen [mm] [T]_{B_1} [/mm] und [mm] [T]_{B_2} [/mm] . |
Hallo,
eigentlich hatte ich mit solchen Aufgaben gar kein Problem, nur komme ich hier nicht auf die Lösung meines Profs. Für die erste Matrix bekomme ich dasselbe ergebnis, nach einsetzen erhalte ich:
[mm] T\left(\vektor{1 \\ 0}\right)=\vektor{1 \\ 3}\right
[/mm]
und
[mm] T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{2 \\ 2}\right
[/mm]
[mm] [T]_{B_1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 2 }
[/mm]
Für die zweite Basis eigentlich das gleiche:
[mm] T\left(\vektor{1 \\ 3}\right)=\vektor{7 \\ 9}\right
[/mm]
und
[mm] T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{12 \\ 16}\right
[/mm]
Demnach sollte die matrix gegeben sein durch:
[mm] [T]_{B_2}=\pmat{ 7 & 9 \\ 12 & 16 }
[/mm]
Das Lösungsblatt sagt aber:
[mm] [T]_{B_1}=\pmat{ -17 & -28 \\ 12 & 20 }
[/mm]
Liege ich jetzt falsch oder mein Prof. ?
Lg
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Hallo MontBlanc,
> Sei [mm]T:\IR^2\to\IR^2[/mm] eine lineare Transformation definiert
> also
>
> [mm]T\left(\vektor{x_1 \\ x_2}\right)=\vektor{x_1+2x_2 \\ 3x_1+2x_1}[/mm]
> . Weiterhin seien [mm]B_1=\left\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\right\}[/mm]
> und [mm]B_2=\left\{\vektor{1 \\ 3},\vektor{2 \\ 5}\right\}.[/mm]
>
> Finden Sie die Matrizen [mm][T]_{B_1}[/mm] und [mm][T]_{B_2}[/mm] .
> Hallo,
>
> eigentlich hatte ich mit solchen Aufgaben gar kein Problem,
> nur komme ich hier nicht auf die Lösung meines Profs. Für
> die erste Matrix bekomme ich dasselbe ergebnis, nach
> einsetzen erhalte ich:
>
> [mm]T\left(\vektor{1 \\ 0}\right)=\vektor{1 \\ 3}\right[/mm]
> und
> [mm]T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{2 \\ 2}\right[/mm]
>
> [mm][T]_{B_1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 2 }[/mm]
Na, hier sind doch Zeilen und Spalten vertauscht!
>
> Für die zweite Basis eigentlich das gleiche:
>
> [mm]T\left(\vektor{1 \\ 3}\right)=\vektor{7 \\ 9}\right[/mm]
> und
> [mm]T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{12 \\ 16}\right[/mm]
>
> Demnach sollte die matrix gegeben sein durch:
>
> [mm][T]_{B_2}=\pmat{ 7 & 9 \\ 12 & 16 }[/mm]
>
> Das Lösungsblatt sagt aber:
>
> [mm][T]_{B_1}=\pmat{ -17 & -28 \\ 12 & 20 }[/mm]
>
Du musst doch für die i-te Spalte der gesuchten Matrix den i-ten Basisvektor abbilden und das Bild als LK der Basisvektoren des Zielraumes darstellen.
Die Koeffizienten in dieser LK stopfdt du in die i-te Spalte:
Ich mach's mal für die erste Spalte von [mm] $[T]_{B_2}$
[/mm]
[mm] $T\vektor{1\\3}=\vektor{7\\9}=\alpha\cdot{}\vektor{1\\3}+\beta\cdot{}\vektor{2\\5}$
[/mm]
Das führt zum LGS:
(1) [mm] $\alpha+2\beta=7$
[/mm]
(2) [mm] $3\alpha+5\beta=9$
[/mm]
Löse das (wie auch immer) und du kommst auf [mm] $\alpha=-17$ [/mm] und [mm] $\beta=12$
[/mm]
Probe: [mm] $T\vektor{1\\3}=\vektor{7\\9}=\red{-17}\cdot{}\vektor{1\\3}+\red{12}\cdot{}\vektor{2\\5}=\vektor{-17+24\\-51+60}\checkmark$
[/mm]
Also lautet die erste Spalte der gesuchten Matrix [mm] $\vektor{\red{-17}\\\red{12}}$
[/mm]
> Liege ich jetzt falsch oder mein Prof. ?
Du 
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 10.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
> Hallo MontBlanc,
>
> > Sei [mm]T:\IR^2\to\IR^2[/mm] eine lineare Transformation definiert
> > also
> >
> > [mm]T\left(\vektor{x_1 \\ x_2}\right)=\vektor{x_1+2x_2 \\ 3x_1+2x_1}[/mm]
> > . Weiterhin seien [mm]B_1=\left\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\right\}[/mm]
> > und [mm]B_2=\left\{\vektor{1 \\ 3},\vektor{2 \\ 5}\right\}.[/mm]
>
> >
> > Finden Sie die Matrizen [mm][T]_{B_1}[/mm] und [mm][T]_{B_2}[/mm] .
> > Hallo,
> >
> > eigentlich hatte ich mit solchen Aufgaben gar kein Problem,
> > nur komme ich hier nicht auf die Lösung meines Profs. Für
> > die erste Matrix bekomme ich dasselbe ergebnis, nach
> > einsetzen erhalte ich:
> >
> > [mm]T\left(\vektor{1 \\ 0}\right)=\vektor{1 \\ 3}\right[/mm]
> >
> und
> > [mm]T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{2 \\ 2}\right[/mm]
> >
> > [mm][T]_{B_1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> Na, hier sind doch Zeilen und Spalten vertauscht!
Okay... Sorry, das war ein Tippfehler !
> > Für die zweite Basis eigentlich das gleiche:
> >
> > [mm]T\left(\vektor{1 \\ 3}\right)=\vektor{7 \\ 9}\right[/mm]
> >
> und
> > [mm]T\left(\vektor{0 \\ 1}\right)=\vektor{12 \\ 16}\right[/mm]
> >
> > Demnach sollte die matrix gegeben sein durch:
> >
> > [mm][T]_{B_2}=\pmat{ 7 & 9 \\ 12 & 16 }[/mm]
> >
> > Das Lösungsblatt sagt aber:
> >
> > [mm][T]_{B_1}=\pmat{ -17 & -28 \\ 12 & 20 }[/mm]
> >
>
> Du musst doch für die i-te Spalte der gesuchten Matrix den
> i-ten Basisvektor abbilden und das Bild als LK der
> Basisvektoren des Zielraumes darstellen.
>
> Die Koeffizienten in dieser LK stopfdt du in die i-te
> Spalte:
>
> Ich mach's mal für die erste Spalte von [mm][T]_{B_2}[/mm]
>
> [mm]T\vektor{1\\3}=\vektor{7\\9}=\alpha\cdot{}\vektor{1\\3}+\beta\cdot{}\vektor{2\\5}[/mm]
>
> Das führt zum LGS:
>
> (1) [mm]\alpha+2\beta=7[/mm]
>
> (2) [mm]3\alpha+5\beta=9[/mm]
>
> Löse das (wie auch immer) und du kommst auf [mm]\alpha=-17[/mm] und
> [mm]\beta=12[/mm]
>
> Probe:
> [mm]T\vektor{1\\3}=\vektor{7\\9}=\red{-17}\cdot{}\vektor{1\\3}+\red{12}\cdot{}\vektor{2\\5}=\vektor{-17+24\\-51+60}\checkmark[/mm]
>
> Also lautet die erste Spalte der gesuchten Matrix
> [mm]\vektor{\red{-17}\\\red{12}}[/mm]
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> > Liege ich jetzt falsch oder mein Prof. ?
>
> Du
>
> >
> > Lg
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Lg
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