lineare (Un)abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie die Aussagen gegebenenfalls oder widerlegen Sie diese mit einem Gegenbeispiel:
A. Die Vektoren einer Vektormenge, in der der Nullvektor enthalten ist, sind linear abhängig.
B. Enthält eine Menge von Vektoren einen Vektor und seinen Gegenvektor, sind die Vektoren der Menge linear abhängig.
C. Streicht man von n linear unabhänigen Vektoren einen, so sind die restlichen n-1 Vektoren linear unabhängig.
D. Streicht man von n linear abhängigen Vektoren einen Vektor, so sind die restlichen n-1 Vektoren linear abhängig.
E. Fügt man zu n linear unabhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu, so sind die n+1 Vektoren stets linear unabhängig.
F. Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren einen beliebigen Vektor zu, so sind die n+1 Vektoren stets linear abhängig. |
Hallo erstmal,
ich bin die Aufgaben durchgegangen und wäre sehr dankbar, wenn ihr mal guckt, ob sie richtig sind. Allerdings habe ich mit den Begründungen Schwierigkeiten.
Danke und lg
searchgirl
zu A:
wahr, denn multipliziert man den Nullvektor mit einem Parameter so kommt immer das gleiche Ergebnis (Nullvektor) heraus
zu B:
wahr, denn -1 * Vektor = Gegenvektor
zu C:
wahr
zu D:
falsch, denn z.B. sind im Raum teilweise 3 Vektoren nötig, damit ein Vektorsystem linear abhängig ist
zu E:
falsch, denn ein Vektorsystem bzw. Vektoren sind linear abhängig wenn in der Ebene 2 verschiedene und im Raum 3 verschiedene Vektoren vorhanden sind. Fügt man in der Ebene zu einem Vektor einen weiteren dazu, sind diese linear abhängig
zu F:
wahr
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Hallo,
Deine Antworten sind richtig.
Gruß v. Angela
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Danke für deine Antwort,
sind die Begründungen auch o.k.? Bzw. kann man es evtl. noch anders schreiben (ich meine gibt es Gesetze die ich als Begründung schreiben kann)... vllt. kennt jmd. einen link indem das alles mal aufgeführt ist....
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Hallo!
Ganz analytisch kannst du immer auf die Definition zurückgreifen und damit alles begründen:
[mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
[mm] \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*v_{2} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*v_{n} [/mm] = 0
nur die Lösung [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 hat.
Wenn du jetzt z.B. mit dem Nullvektor anfängst: Wäre einer der Vektoren der Nullvektor, obdA [mm] v_{1} [/mm] = o, dann findet man zusätzlich zur trivialen Lösung eine Lösung [mm] \lambda_{1} [/mm] = 5, [mm] \lambda_{2} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0, d.h. die Vektoren sind l.a.
Ähnlich kann man das bei allen anderen durchziehen.
Deine Antworten sind auch nicht schlecht, müssten aber teilweise noch etwas präzisiert werden. Bei D und E kannst du zum Beispiel konkrete Gegenbeispiele bringen, z.B. bei D
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und kurz anhand dieser zeigen, warum die Aussage falsch ist.
Bei F würde ich persönlich eher über die obige Definition gehen, so lässt sich das irgendwie nur mit "klar" begründen... Obwohl: Was heißt es, wenn Vektoren linear abhängig sind. Ich kann mindestens einen durch Linearkombination der anderen darstellen. Und dieser Sachverhalt wird sich auch nicht ändern, wenn ich einen Vektor hinzufüge, den vorher betrachteten kann ich dann immer noch durch dieselbe LiKo darstellen.
Bei B nach Definition ist dann: 1*Vektor + 1*Gegenvektor = Nullvektor, d.h. nichttriviale Lösung (1,1) --> Linear abhängig oder eben einfach: Sind linear abhängig, weil sich Vektor durch Linearkombination von Gegenvektor, nämlich
Vektor = (-1)*Gegenvektor
darstellen lässt, wie du auch schon geschrieben hast.
C ist wieder so eine Sache wie bei F... Wenn ich schon bei den n Vektoren, die ich gegeben habe, keinen Vektor durch eine Linearkombination der anderen darstellen kann, dann kann ich das sicher auch nicht mit noch weniger Vektoren. Exakter würde das auch über die Definition gehen 
Stefan.
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> sind die Begründungen auch o.k.?
Hallo,
leider steht nichts in Deinem Profil, und das macht es sehr schwer zu entscheiden, ob die Begründungen ausreichen.
Zwischen einem GK-Mathematik und dem Grundstudium im Fach Mathematik gibt es doch eine breite Spanne.
Gruß v. Angela
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