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| Aufgabe | Untersuchen Sie jeweils die Menge [mm] $\{ f_i~|~i \in \IN\}$ [/mm] auf lineare Unabhängigkeit:
[mm] \begin{itemize} \item[(i)] für den Fall \[ f_i \in \IQ^{\IN} \quad \mbox{mit} \quad f_i(n) = \left\{ \begin{array}{rl} n & \mbox{für } n \le i \\ 0 & \mbox{für } n > i \end{array} \right. \qquad (n \in \IN) \] \item[(ii)] für den Fall \[ f_i \in \IR^{\IR} \quad \mbox{mit} \quad f_i(x) = \prod_{j=1}^i (x-j) \qquad (x \in \IR) \] \end{itemize} [/mm] |
Hi,
Ich wollte mal fragen, wie man so etwas vernünftig aufschreibt.
Zur ersten Aufgabe:
[mm] $a_1f_1(n)+a_2f_2(n)+\cdots+a_mf_m(n)=0,~m\in\IN\qquad\qquad\gdw$
[/mm]
[mm] $a_1*\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+a_2*\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+a_m\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\mbox{ (m-te Stelle)}\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=0\qquad\qquad\gdw$
[/mm]
erste Frage: kann ich das so schreiben? Bei der 2. Aufgabe geht das ja nicht so leicht oder?
[mm] $\pmat{a_1 &+& a_2&+&\cdots &+&a_m=0\\&&a_2&+&\cdots &+&a_m=0\\&&&&\ddots&\vdots\\&&&&&&a_m=0}$
[/mm]
Und da $m=n$ folgt mit dem Gaussalgorithmus, dass lineare Unabhängigkeit vorliegt. Richtig so?
Bei der 2. Aufgabe weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll.
Vielen Dank, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur ersten Aufgabe:
Du hast:
$ [mm] a_1f_1(n)+a_2f_2(n)+\cdots+a_mf_m(n)=0 [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Wenn Du darin der Reihe nach für n die Zahlen 1,2, ..., m einsetzt erhälst Du
$ [mm] \pmat{a_1 &+& a_2&+&\cdots &+&a_m=0\\&&a_2&+&\cdots &+&a_m=0\\&&&&\ddots&\vdots\\&&&&&&a_m=0} [/mm] $
Zur 2. Aufgabe:
Tipp: Jedes [mm] f_i [/mm] ist ein Polynom vom Grade i
FRED
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