lineare Unabhängigkeit < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 20.08.2005 | | Autor: | dombo |
Hallo!
Ich habe folgendes wahrscheinlich simples Problem und ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Aufgabe ist es zu beurteilen, ob cos(x), sin (x), exp(x) im Vektorraum über [mm] \IR [/mm] aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] linear unabhängig sind oder nicht.
Wenn sie linear unabhängig sind, so ist doch die einzige Lösung für die Gleichung:
a*cos(x)+b*sin(x)+c*exp(x)=0, a=b=c=0.
Aber zum Beispiel für x=0 erhalte ich ja nichttriviale Lösungen der Gleichung, wie
a=1,b=0,c=-1, da ja exp(0)=cos(0)=1.
Dummerweise weiß ich nicht, ob die Vektoren denn nun wirklich als linear abhängig gelten, nur weil eine lineare Abhängigkeit für ein bestimmtes x vorliegt. Oder anders gefragt, sind Vektoren nur dann linear unabhängig, wenn lineare Unabhängigkeit für alle x [mm] \in \IR [/mm] vorliegt?
Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!!!
dombo
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:19 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Dombo!
> Dummerweise weiß ich nicht, ob die Vektoren denn nun wirklich als linear abhängig gelten, nur weil eine lineare Abhängigkeit für ein bestimmtes x vorliegt. Oder anders gefragt, sind Vektoren nur dann linear unabhängig, wenn lineare Unabhängigkeit für alle x $ [mm] \in \IR [/mm] $ vorliegt?
Ja, das ist so in etwa richtig, ich möchte es aber noch einmal formell korrekter formulieren: wir befinden uns im Vektorraum [mm] $C^{\infty}(\IR)$ [/mm] der beliebig oft differenzierbaren reellen Funktionen; Vektoren dieses Vektorraumes entsprechen also Funktionen. Sind [mm] $f,g\in C^{\infty}(\IR)$ [/mm] Vektoren aus [mm] $C^{\infty}(\IR)$, [/mm] dann definieren wir die Funktion $f+g$ über $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ und für ein reelles [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] die Funktion [mm] $\lambda [/mm] f$ durch [mm] $(\lambda f)(x)=\lambda [/mm] f(x)$. Der Nullvektor ist die Nullabbildung. Wie üblich sind ferner die Vektoren [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear abhängig, wenn es [mm] $\lambda_i\in\IR$ [/mm] gibt, die nicht alle gleich Null sind, für die [mm] $\summe \lambda_i f_i=0$ [/mm] gilt. Dies bedeutet, dass die Vektoren [mm] $f_1,...,f_n$, [/mm] die ja Funktionen sind, zum Nullvektor, der Nullabbildung, linear kombiniert werden können. Genau dann ist also [mm] $\summe \lambda_i f_i$ [/mm] die Nullabbildung, d.h. es gilt [mm] $\left(\summe \lambda_i f_i\right)(x) [/mm] = [mm] \summe \lambda_i f_i(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Wie du also schon richtig vermutetest, sprechen wir bei Funktionen [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] von linearer Abhängigkeit genau dann, wenn man die Funktionen zur Nullabbildung kombinieren kann bzw. Koeffizienten [mm] $\lambda_i$ [/mm] so finden kann, dass für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] stets [mm] $\summe \lambda_i f_i(x)=0$ [/mm] gilt.
Eine sehr schöne Möglichkeit, Funktionen aus [mm] $C^{\infty}(\IR)$ [/mm] auf linear Unabhängigkeit zu prüfen, ist die sog. Wronksi-Determinante. Für Funktionen [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] ist sie wie folgt definiert:
[mm] $W(x)=\vmat{f_1(f) & f_2(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & ... & f'_n(x) \\ \vdots & & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(x) & f^{(n-1)}_2(x) & ... & f^{(n-1)}_n (x)}$.
[/mm]
Existiert ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $W(x)\not= [/mm] 0$, dann sind die Funktionen [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] linear unabhängig. Ist hingegen $W(x)=0$ für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] so sind sie linear abhängig. Kannst du damit nun prüfen, ob die dir gegebenen Funktionen linear abhängig sind oder nicht? Schaffst du es vielleicht sogar, die erste der beiden genannten Aussagen zu beweisen?
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Sa 20.08.2005 | | Autor: | dombo |
Hallo Hanno,
vielen Dank für die schnelle und sehr ausführliche Antwort. Denke ich habs verstanden!
mfG Dombo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Ich habe gerade mal diese Aufgabe hier und deine Antwort dazu gelesen.
> Eine sehr schöne Möglichkeit, Funktionen aus
> [mm]C^{\infty}(\IR)[/mm] auf linear Unabhängigkeit zu prüfen, ist
> die sog. Wronksi-Determinante. Für Funktionen [mm]f_1,...,f_n[/mm]
> ist sie wie folgt definiert:
>
> [mm]W(x)=\vmat{f_1(f) & f_2(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & ... & f'_n(x) \\ \vdots & & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(x) & f^{(n-1)}_2(x) & ... & f^{(n-1)}_n (x)}[/mm].
>
> Existiert ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]W(x)\not= 0[/mm], dann sind die
> Funktionen [mm]f_1,...,f_n[/mm] linear unabhängig. Ist hingegen
> [mm]W(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm], so sind sie linear abhängig.
> Kannst du damit nun prüfen, ob die dir gegebenen Funktionen
> linear abhängig sind oder nicht? Schaffst du es vielleicht
> sogar, die erste der beiden genannten Aussagen zu
> beweisen?
Ich erhalte für diese drei Funktionen als Wronski-Determinante 2exp(x), damit wären die drei Funktionen linear unabhängig. Ich hoffe, das stimmt so?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
> Ich erhalte für diese drei Funktionen als
> Wronski-Determinante 2exp(x), damit wären die drei
> Funktionen linear unabhängig. Ich hoffe, das stimmt so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mo 22.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Existiert ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]W(x)\not= 0[/mm], dann sind die
> Funktionen [mm]f_1,...,f_n[/mm] linear unabhängig.
Wie bweist man das? Bzw.: wo steht der Beweis? Schnelles googlen ergab nur welche, die sich auf DGLs beziehen - kann man die leicht modifizieren um zum Ergebnis zu kommen?
> Ist hingegen
> [mm]W(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm], so sind sie linear abhängig.
Das ist eher klar - dann gibt es für einen ineeren Punkt eine nicht-triviale Null-Kombination, die sich dann durch das Ableiten zieht.
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Di 23.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo SEcki!
> > Existiert ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]W(x)\not= 0[/mm], dann sind die
> > Funktionen [mm]f_1,...,f_n[/mm] linear unabhängig.
>
> Wie bweist man das? Bzw.: wo steht der Beweis? Schnelles
> googlen ergab nur welche, die sich auf DGLs beziehen - kann
> man die leicht modifizieren um zum Ergebnis zu kommen?
Das ist recht simpel. Aus
[mm] $\lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_nf_n=0$
[/mm]
und mehrfaches Differenzieren sowie Einsetzen von $x$ erhält man ein LGS, das nach Voraussetzung eine eindeutige Lösung besitzt.
> > Ist hingegen
> > [mm]W(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm], so sind sie linear abhängig.
>
> Das ist eher klar - dann gibt es für einen ineeren Punkt
> eine nicht-triviale Null-Kombination, die sich dann durch
> das Ableiten zieht.
Die Aussage ist aber leider i.A. falsch, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 23.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\lambda_1 f_1 + \ldots + \lambda_nf_n=0[/mm]
>
> und mehrfaches Differenzieren
Aha, also man hat auf einem Intrervall diese Gleichung, dann drückt sich das auf die ableitungen durch, okay.
> sowie Einsetzen von [mm]x[/mm] erhält
> man ein LGS, das nach Voraussetzung eine eindeutige Lösung
> besitzt.
Aha, okay. Jetzt ist es klar.
> Die Aussage ist aber leider i.A. falsch, siehe
> hier.
Oha, ja - ich dachte es mir fast schon. Aber dann in die falsche Richtung gedacht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Di 23.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Julius!
Komisch, in meinem Studiums-Skript stand, dass die Aussage korrekt sei.
Viele Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Kannst du bitte mal den Satz aus dem Skript wörtlich zitieren, denn das wäre ja ein grober Schnitzer in dem Skript.
Oder kann es sein, dass es im Kontext gewöhnlicher Differentialgleichungen war?
Es gilt nämlich der folgende Satz:
$n$ Lösungen der Gleichung [mm] $\dot{x}=A(t)x$, [/mm] $x [mm] \in \IR^n$, $A(t):\IR^n \to \IR^n$, [/mm] bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre Wronksi-Determinante in jedem Punkt von $0$ verschieden ist. (Und die Wronski-Determinante eines Lösungssystems ist identisch $0$, wenn sie in einem Punkt $t$ gleich $0$ ist.)
Liebe Grüße
Stefan
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![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
