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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Do 21.05.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | a) Stellen Sie die Menge [mm] M={\lambda_{1}*\vektor{0 \\ 1}+\lambda_{2}*\vektor{2 \\ 0}+\lambda_{3}*\vektor{2 \\ 2}|\summe_{i=1}^{3}\lambda_{i}=1,\lambda_{1}\ge0,\lambda_{2}\ge0,\lambda_{3}\ge0} [/mm] graphisch dar.
b) Geben Sie ein lineares Ungleichungssystem an, dessen Lösungsmenge die unter Teilaufgabe a) angegebene Menge M ist. |
Hallo Leute,
die Teilaufgabe a habe ich gemacht. Die Lösungsmenge ist ein Dreieck mit den Punkten [mm] x_{1}=\vektor{0 \\ 1}, x_{2}=\vektor{2 \\ 0},x_{3}=\vektor{2 \\ 2}.
[/mm]
Die einzelnen Seiten habe ich folgendermaßen definiert:
Seite I: [mm] x_{2} [/mm] bis [mm] x_{3}
[/mm]
Seite II: [mm] x_{3} [/mm] bis [mm] x_{1}
[/mm]
Seite III: [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{2}
[/mm]
Seite I: [mm] x_{1}=2. [/mm] So, nun ergibt sich laut Lösung [mm] x_{1}\le2. [/mm] Warum ist das so? Warum kann ich nicht [mm] x_{1}\ge2 [/mm] schreiben? Ähnliches ergibt sich bei den anderen Seiten.
Seite II: [mm] x_{2}=1+\bruch{1}{2}*x_{1}. [/mm] Daraus folgt [mm] -x_{1}+2*x_{2}=2. [/mm] Nun steht dort anschließend [mm] -x_{1}+2*x_{2}\le2. [/mm] Hier die gleiche Frage.
Seite III: [mm] x_{2}=1-\bruch{1}{2}*x_{1}
[/mm]
[mm] x_{1}+2*x_{2}=2. [/mm] Daraus folgt laut Lösung [mm] x_{1}+2*x_{2}\ge2. [/mm] Warum hier auf einmal [mm] \ge [/mm] 2 und nicht z.B. [mm] \le2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 21.05.2009 | | Autor: | abakus |
> a) Stellen Sie die Menge [mm]M={\lambda_{1}*\vektor{0 \\ 1}+\lambda_{2}*\vektor{2 \\ 0}+\lambda_{3}*\vektor{2 \\ 2}|\summe_{i=1}^{3}\lambda_{i}=1,\lambda_{1}\ge0,\lambda_{2}\ge0,\lambda_{3}\ge0}[/mm]
> graphisch dar.
> b) Geben Sie ein lineares Ungleichungssystem an, dessen
> Lösungsmenge die unter Teilaufgabe a) angegebene Menge M
> ist.
> Hallo Leute,
> die Teilaufgabe a habe ich gemacht. Die Lösungsmenge ist
> ein Dreieck mit den Punkten [mm]x_{1}=\vektor{0 \\ 1}, x_{2}=\vektor{2 \\ 0},x_{3}=\vektor{2 \\ 2}.[/mm]
>
> Die einzelnen Seiten habe ich folgendermaßen definiert:
> Seite I: [mm]x_{2}[/mm] bis [mm]x_{3}[/mm]
> Seite II: [mm]x_{3}[/mm] bis [mm]x_{1}[/mm]
> Seite III: [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{2}[/mm]
>
> Seite I: [mm]x_{1}=2.[/mm] So, nun ergibt sich laut Lösung
> [mm]x_{1}\le2.[/mm] Warum ist das so? Warum kann ich nicht [mm]x_{1}\ge2[/mm]
> schreiben? Ähnliches ergibt sich bei den anderen Seiten.
> Seite II: [mm]x_{2}=1+\bruch{1}{2}*x_{1}.[/mm] Daraus folgt
> [mm]-x_{1}+2*x_{2}=2.[/mm] Nun steht dort anschließend
> [mm]-x_{1}+2*x_{2}\le2.[/mm] Hier die gleiche Frage.
Hallo,
zeichne dir mal drei Punkte und die 3 Geraden, die paarweise durch diese Punkte gehen.
Die Punkte im Inneren des von den drei Geraden gebildeten Dreiecks haben zu jeder der drei Geraden eine bestimmte Lagebeziehung: sie liegen "unter" oder "über" der jeweiligen Begrenzungsgerade.
Jetzt gehe mal "von außen kommend" in deiner Zeichnung von links nach rechts, bis du auf den am weitesten links liegenden Eckpunkt des Dreiecks kommst. Dort schneiden sich zwei Geraden, die natürlich verschiedene Anstiege haben.
Das Innnere dieses Dreiecks liegt UNTERHALB der Geraden mit dem größeren Anstieg [mm] m_1 [/mm] (deshalb [mm] y\le m_1x+n_1), [/mm] aber OBERHALB von der Geraden mit dem kleineren Anstieg [mm] m_2 [/mm] (also y [mm] \ge m_2x+n_2).
[/mm]
Nun näherst du dich dem Dreieck von rechts und führst die gleiche Untersuchung für die beiden sich am äußeren rechten Punkt schneidenden Geraden durch.
Gruß Abakus
>
> Seite III: [mm]x_{2}=1-\bruch{1}{2}*x_{1}[/mm]
> [mm]x_{1}+2*x_{2}=2.[/mm] Daraus folgt laut Lösung
> [mm]x_{1}+2*x_{2}\ge2.[/mm] Warum hier auf einmal [mm]\ge[/mm] 2 und nicht
> z.B. [mm]\le2[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 21.05.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo abakus und danke für die Antwort. Ich habs in etwa verstanden. Wenn man sich aber die Seite I anschaut, so verläuft die ja vertikal. Wie kann man dort denn sehen, ob es unterhalb oder oberhalb liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 21.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus und danke für die Antwort. Ich habs in etwa
> verstanden. Wenn man sich aber die Seite I anschaut, so
> verläuft die ja vertikal. Wie kann man dort denn sehen, ob
> es unterhalb oder oberhalb liegt?
Hallo,
wenn die Begrenzungslinie senkrecht verläuft, gibt es für die Punkte des Dreiecks kein oben und unten, sondern nur ein "links davon" oder "rechts davon".
Da das Dreieck links von dieser senkrechten Linie (x=2) liegt, ist die x-Koordinate aller Dreieckspunkte nicht größer als 2, sondern kleiner oder gleich 2.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Do 21.05.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, ok. Vielen Dank.
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