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| Aufgabe | zu zeigen:
2 vektoren x= [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] und
y= [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] sind genau dann linear abhängig, wenn gilt [mm] x_1y_2=x_2y_1 [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] |
irgendwie is das ja klar, aber ich weiß nich so recht wie ich das zeigen kann. habs mal so probiert:
[mm] x_1y_2=x_2y_1 [/mm] <=> [mm] \bruch{x_1}{x_2} [/mm] = [mm] \bruch{y_1}{y_2} [/mm]
das heißt ja , dass der kleinste gemeinsame teiler beider brüche gleich sein muss. oder so ähnliuch. kann man irgendwie so argumentieren. oder gibts nen besseren ansatz.
bin für alles offen 
danke schon mal im voraus für die hilfe.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt!
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> zu zeigen:
> 2 vektoren x= [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm]
> und
> y= [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}[/mm] sind genau
> dann linear abhängig, wenn gilt [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm] im [mm]\IR^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
nach meiner Ansicht ist dies eine Gleichung in [mm] \IR [/mm] (nicht in [mm] \IR^2)
[/mm]
> irgendwie is das ja klar, aber ich weiß nich so recht wie
> ich das zeigen kann. habs mal so probiert:
> [mm]x_1y_2=x_2y_1[/mm] <=> [mm]\bruch{x_1}{x_2}[/mm] = [mm]\bruch{y_1}{y_2}[/mm]
>
> das heißt ja , dass der kleinste gemeinsame teiler beider
> brüche gleich sein muss. oder so ähnliuch. kann man
> irgendwie so argumentieren. oder gibts nen besseren
> ansatz.
> bin für alles offen
Hallo grafzahl123,,
mit Teilbarkeitseigenschaften zu operieren bringt hier nicht
so viel, da die vorkommenden Zähler und Nenner im allge-
meinen gar nicht ganzzahlig sind !
Ich würde etwa von der Definition ausgehen: x und y sind
genau dann linear abhängig, wenn ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in\IR^2
[/mm]
mit [mm] (a,b)\not=(0,0) [/mm] existiert mit $\ a*x+b*y=0$ . Diese Gleichung
in ihre beiden Komponentengleichungen auflösen und aus diesem
Gleichungssystem a und b eliminieren (dabei benützen, dass
garantiert entweder [mm] a\not=0 [/mm] oder [mm] b\not=0 [/mm] ist).
LG Al-Chw.
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mach ich das mal:
ax+by=0
=> a* [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} [/mm] + b* [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] =>I_1: ax_1+by_1=0
[/mm]
[mm] II_2: ax_2+by_2=0
[/mm]
=> [mm] II_2-I_1: ax_2-ax_1+by_1-by_2=0
[/mm]
=> [mm] a(x_2+x_1)+b(y_2-y_1)=0
[/mm]
aber ich weiß jetzt nicht wie ich weiter machen soll.
vielleicht mag mir ja einer helfen.
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Hallo,
> mach ich das mal:
> ax+by=0
>
> => a* [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] + b*
> [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]=>I_1: ax_1+by_1=0[/mm]
> [mm]II_2: ax_2+by_2=0[/mm]
Bleiben wir mal bei diesem Schritt. Dann einfach die Gleichungen voneinander abzuziehen, bringt nicht viel.
Mache nun eine Fallunterscheidung: Entweder $a [mm] \not [/mm] = 0$ oder $b [mm] \not= [/mm] 0$.
Fall 1: [mm] $a\not= [/mm] 0$. Dann folgt aus obigen LGS:
(I)': [mm] $a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0$
[/mm]
(II)': [mm] $a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0$
[/mm]
Nun (I)' - (II)': [mm] $a*(x_{1}*y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}*y_{1}) [/mm] = 0$.
Da [mm] $a\not= [/mm] 0$, folgt [mm] $x_{1}*y_{2} [/mm] - [mm] x_{2}*y_{1} [/mm] = 0$, also...
Grüße,
Stefan
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danke erstmal für die hilfe
> Fall 1: [mm]a\not= 0[/mm]. Dann folgt aus obigen LGS:
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> (I)': [mm]a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0[/mm]
> (II)': [mm]a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0[/mm]
>
ich versteh nich wie (I) und (II) entstehen, wenn [mm]a\not= 0[/mm] ist???
vielleicht da nochmal den ein oder anderen erklärenden hinweis wäre gut.
grüße,
jens
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> danke erstmal für die hilfe
>
> > Fall 1: [mm]a\not= 0[/mm]. Dann folgt aus obigen LGS:
> >
> > (I)': [mm]a*x_1*y_{2}+b*y_1*y_{2}=0[/mm]
> > (II)': [mm]a*x_2*y_{1}+b*y_{1}*y_2=0[/mm]
> >
> ich versteh nich wie (I) und (II) entstehen, wenn [mm]a\not= 0[/mm]
> ist???
> vielleicht da nochmal den ein oder anderen erklärenden
> hinweis wäre gut.
>
> grüße,
> jens
Hallo Jens,
Multiplikation der Gleichung [mm] a\,x_1+b\,y_1=0 [/mm] mit [mm] y_2 [/mm] ergibt:
[mm] a\,x_1*y_2+b\,y_1*y_2=0
[/mm]
Multiplikation der Gleichung [mm] a\,x_2+b\,y_2=0 [/mm] mit [mm] y_1 [/mm] ergibt:
[mm] a\,x_2*y_1+b\,y_1*y_2=0
[/mm]
Subtraktion der entstandenen Gleichungen liefert:
[mm] a\,x_1*y_2-a\,x_2*y_1=0
[/mm]
Das kann man nun wegen [mm] a\not=0 [/mm] durch a dividieren und kommt
zur gewünschten Gleichung. Im Falle, dass a=0 wäre, funktioniert
dies so nicht, aber dann kann man wegen [mm] b\not=0 [/mm] eine analoge
Rechnung anstellen, die zum selben Ziel führt.
Schönes Wochenende !
Al-Chw.
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