lineare abhängigkeit zeigen? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine Frage:
Aufgabe lautet:
Zeigen Sie dass die Vektoreb V1,...V5 linear abhängig sind, mit:
v1= w+x+y+z
v2=2w+2x+y-z
v3=w+x+3y-z
v4=-x+y-z
v5=w-y+x
Wie muß ich hier genau den Ansatz wählen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Einfach die Definition einsetzen!
Vektoren [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] eines Vektorraumes über einem Körper $K$ heißen linear unabhängig, wenn aus
[mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i [/mm] = 0$ mit [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [/mm] K$ folgt: [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n [/mm] = 0$.
Nehme Dir also 5 Koeffizienten aus Deinem Körper, bilde eine Linearkombination, die 0 ergibt und schreibe aus, was Du hast - das wird dann eine Linearkombination in den Vektoren w, x, y und z (sind das Vektoren??)
Und dann mußt Du zeigen, dass alle 5 Koeffizienten zwingend 0 sind. In diesem Fall stimmt aber die Aufgabe so nicht - wenn nämlich w, x, y und z Vektoren sind, dann sind die 5 gebildeten Vektoren in jedem Fall lin. abhängig.
Gruß,
Lars
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Ok, soweit danke erstmal!
Aber ganz weit bin ich da immer noch nicht mit?
Also w,x,y,z seien Vektoren in V.
Wie muß ich das ganze denn dann aufschreiben und ab wann habe ich genau gesehen, dass sie linear abhängig sind?
Warum sagtest du, dasss sie dann in jedem Fall linear abhängig seien?
Danke schon mal im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Moin,
schreib die 4 Vektoren in Spaltenform auf und setze vor jeden Vektor eines der [mm] \lambda_{1} [/mm] ... [mm] \lambda_{4} [/mm] und auf der anderen Seite des Gleichung steht der Nullvektor.
Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Um lineare Unabhängigkeit zu zeigen musst du zeigen, dass die Gleichungen nur erfüllt sind, wenn [mm] \lambda_{1} [/mm] ... [mm] \lambda_{4} [/mm] =0 sind.
Gibt andere Skalare (Zahlen) außer alle 0 für die die Gleichungen erfüllt sind, so sind die Vektoren linear abhängig.
Alles klar soweit?
Gruß Toyo
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Danke, aber soweit war ich im Grunde auch schon!
Ich hatte das ganze dann ausprobiert herumzurechnen, und hab's dann so aufgeschrieben:
a1 + a2 + a3 + a4 = 0
2a1 + 2a2 + a3 - a4 = 0
a1 + a2 + 3a3 - a4 = 0
- a2 + a3 - a4 = 0
a1 + a2 - a3 = 0
Bin dann aber damit leider zu keinem ordentlichen Ergebnis gekommen!
Ist dieser Ansatz denn soweit richtig?
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Das von Toyo ist schon ein guter Vorschlag.
Vielleicht kannst du auch mit folgender Überlegung etwas anfangen.
Schrei die Summe aus, achte darauf dass die jedes [mm] \lambda [/mm] -{i} eine eigene Zeile bekommt. Addiere die Spalten und setze diese gleich 0. Dann bekommst Du wieder ein Gleichungssystem. Die erste und die zweite Zeile müssten Dir was sagen...
Hoffentlich stimmt das auch. Das müsstest Du noch mal abklopfen.
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